作者xgcj (ㄨGc丁)
看板Physics
標題Re: [問題] 關於載流導線的吸引力以狹義相對論解釋
時間Tue Jul 19 00:58:44 2011
※ 引述《andyui (絕望)》之銘言：
: 最近上課老師提到了有關兩條載流導線間的吸引力(電流同向)，
: 可以用狹義相對論來解釋，
: 老師是這樣說的，
: 以實驗室的慣性系(也就是我們的慣性系)來看載流導線，
: 導線中的電荷為電中性，
: 但以電子本身的觀點，考慮長度縮短效應，
: 因導線中的金屬離子對電子而言有相對運動而產生了正電荷密度大於負電荷的結果，
: 而對電子產生電吸引力。
: 我有疑問的點在，為何在實驗室慣性系觀測電流之時，電子就已經對我們有相對運動，
: 所以考慮相對論效應，應該是負電荷密度會大於正電荷密度，怎麼會是電中性呢?
: 老師又解釋說，因為電子漂移速率很慢，不需考慮相對論效應，
: 但問題又來了，若是漂移速率很慢，那以電子慣性系的觀點，
: 相對於晶格中的金屬離子，應該也是以電子漂移速率在運動吧?
: 怎麼又會要考慮相對論性效應呢?
那我們乾諈直接用相對論來算好了
首先 我們考慮一條無限長的電荷分布好了 首先 他的電荷假設是
線密度ρ 然後用高斯定律算出電場在反推電位 我們這邊用自然單位c=1
選定規範之後
電位Φ=-ρln(r)/2π
這裡用圓柱座標 r為圓柱半徑
因為我們是靜電 所以沒有向量位A
這個座標系 我們就令為S
現在我們有一觀察者以-v大小 向下運動 他所看到的現象 就像是
這一束電荷向上運動的樣子 (座標系S')
μ
我們知道原本座標系的電磁場四向量為A =(Φ,0,0,0)
μ
經過羅倫茲變換之後 電磁場在這向下運動的座標系為 A' =(γΦ,γβΦ,0,0)
所以 你跟電荷有相對運動之後的電場會變多
那磁場呢?
我們將γβΦ放在z軸上 用圓柱座標來算
^ ^ ^ ^
A=A r+A θ+A z=γβΦz
r θ z
B=▽╳A
│ ^ ^ ^ │
│ r rθ z │
│ │
│ ∂ ∂ ∂ │
1 │--- --- --- │
=-----│∂r ∂θ ∂z │
r │ │
│A A A │
│ r θ z │
│ │
^ ∂
=θ ---(-γβΦ)
∂r
因為Φ=-ρln(r)/2π 所以負號底消 磁場方向是順時針方向
就是電荷移動時 你不但會看到會出現一個變強的電場 也會出現一個磁場
所以電場大小為
E'=γρ/(2πr)
磁場大小為
B'=γβρ/(2πr)
現在在S'座標系有條電荷再移動 我們放上一個相反電性 但是靜止的相同密度電荷
E =(γ-1)ρ/(2πr)
total
B =γβρ/(2πr)
total
在牛頓近似之下β<<1
2
(γ-1)=(1/2)β +...
γβ = β +...
可見磁場的效應會比較大
但是對於另一個導線上來說
F=q(E+v╳B)
所以靜電力和磁力其實都是同一階的效應
但是兩者有一大的區別 就是運動物體對他們感受的差別
因為電場無論是否移動都會感受到 但是磁場唯有運動者才有感受
你就算考慮什麼長度收縮 導致密度改變 還是會抵銷貢獻最大的第一像
弄到最後
2
F磁力~β
3
F電力~O(β )
...
恩
--
-1 μν ╴ μ
L=─ F F +Ψ(iγ (∂ +ieA )-m)Ψ
4 μν μ μ
--
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◆ From: 140.113.68.28
推 chungweitw:假設長直導線外的電荷不動. 07/19 09:02
→ chungweitw:(簡化問題, 只考慮 單一電荷 受長直導線的力 ) 07/19 09:03
→ chungweitw:未通電 沒有電流時, 電荷所受的力為零 07/19 09:04
→ chungweitw:現在通電. 電子流動. 假設在他們各自的 rest frame 電 07/19 09:05
→ chungweitw:荷密度不變, 則算出來在 導線外所受的電場強度則是你 07/19 09:06
→ chungweitw:所算的. 07/19 09:06
→ chungweitw:而這和電荷以 v 移動 受到電流 J = nev 所受到的磁力 07/19 09:08
→ chungweitw:相同.但是 日常經驗似乎告訴我們通電後, 不動的電荷 07/19 09:09
→ chungweitw:依然不受力, 所以我才會提出那個疑惑 07/19 09:09
推 kevin60405:真強 07/19 11:13
推 h50114:強者~ 07/19 14:26
推 andyui:謝謝你熱心的回答，可是我看不懂= = 07/19 23:47