作者xgcj (ㄨGc丁)
看板Physics
標題Re: [問題] 電子路徑的問題
時間Mon Sep 5 02:06:39 2011
※ 引述《jinya14 (亂逛)》之銘言：
: 其實我有一連串的問題想討論 先拋出最想討論的問一下版眾的看法
: 如果在某點釋放一個自由電子 假設釋放的這個位置有個不準度Δb 這不重要其實
: 只是為了滿足不確定原理
: 然後過了時間T 在距離X外測量到這個自由電子
: 於是我們可以得到動量等於 P = mX/T + mΔb/T
: 後面是動量的不準度
: 我的問題是 這個電子的確是以這個動量(速度)以直線一路到達測量的點
: 或是以更快的速度 但走一個奇怪的路徑 例如在路程上畫一個8 最後到達
: 我們測量的點呢?
: 假如電子不走直線 那它的額外的方向(速度)改變就需要加速度 那麼是否F=ma並不適用於
: quantum particle? 因為自由粒子在過程中並不受外力
: 在使用路徑積分的時候 我們在計算某個路徑的機率振幅的時候
: 是不是要考慮各種動量的加總? 也就是說過程中粒子的動量也有改變的可能嗎?
首先 我們要知道一個量子系統的演化的話 你會先有個
^
H (Hamitonian)
^
H是一個算符 他跟我們的時間演化 是友關係的
假設 有顆粒子 在t0時 在q0位置 我們算他在t時候在q的機率振幅是多少
^
T是時間演化算符
^ ^ ^
她是這樣的 T=exp[-iH(t-t0)]=exp[-iHΔT]
所以 我們的振幅就是
^
<q|T|q0>
再來 就是要切時間間隔了
N
我們知道 Exp[a]= lim (1+a/N)
N->∞
^
所以這裡的T 我們就先寫成
^ ^ N
T=(1-iHΔT/N)
這邊 我們 就將ΔT/N用ε表示好了
^ ^ N
T=(1-iεH)
------------------------------------
接下來 將我們的 躍遷振幅帶換進去
^
<q|T|q0>
^ N
=<q|(1-iεH) |q0>
^ ^ ^
=<q|(1-iεH)(1-iεH)......(1-iεH)|q0>
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有N個 我們現在 利用|q>的基底完備性
將每一個時間間隔中間 都差進去一個 I算符
就是插入這個東西 ∫dqn |qn><qn|
於是 振幅就變成
^ ^
=∫dq1∫dq2...∫dqn-1 <q|(1-iεH)|qn-1><qn-1|...|q2><q2|(1-iεH)|q1>
^
這裡 我們有很多個<qk+1|(1-iεH)|qk>這種項
你可以將她用動量去展開
^ ^
<qk+1|(1-iεH)|qk>=∫pk<qk+1|pm><pm|(1-iεH)|qm>
這邊他等於
= ∫dpm ipm(qm+1-qm)/h_bar
--------- e [1-iεH(pm,qm)]
2πh_bar
我們知道<q|p>=exp[iqp/h_bar](2πh_bar)
^
而<p|H|q>=H(p,q)<p|q>
現在 我們的振幅 就變成
^
<q|T|q0>
=
˙
lim n-1 lim n-1 i/h_bar ∫dt[p q-H(p,q)]
N->∞ Π ∫dq(tk) N->∞ Π ∫dq(tk) e
ε->0 k=1 ε->0 k=1
這邊我們的積分 不只把所有時間點上的 位置空間都積過一次了連動量空間
也做了全面性的積分 也就是 將粒子的所有"可能"的路徑全積一次了
我們可以將上面簡寫成
˙
i/h_bar ∫dt[p q-H(p,q)]
=∫Dq(t)∫Dp(t)e
這邊的積分是泛函積分 並且 我們只有固定q(t)的兩端點
在比較好的Hamitonian底下 我們可以把p(t)給積掉
將動量部分積掉之後 我們會剩下
˙
i/h_bar ∫dt[L(q,q)]
=∫Dq(t)e *N
這邊 當我們積掉動量的時候 也會將H變成L 那多出來的N 是一個規一化常數
她是多少 我們不管 你可以將他吸收到q(t)裡面
所以 結論是
˙
^ i/h_bar ∫dt[L(q,q)]
<q|T|q0>~∫Dq(t)e
一個粒子從t0時候在 q0跑到t時刻在 q 就相當於 對以固定兩端點的所有路徑給定一個
iS
e 因子的泛函積分
打到這邊好了...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.28
→ xgcj:這顆粒子 考慮了所有 包含依些很奇怪的路徑的跑法 09/05 02:10
→ xgcj:連那種會跳來跳去的路徑都考慮進去了 09/05 02:10
推薦一本書
IINTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS
..
SCHRO DINGER EQUATION AND PATH INTEGRAL
..
Harald J W Mu ller-Kirsten
這本書全部都用路徑積分來講一些量子力學的問題 是橘色的 你可以去找找看
看看裡面的東西
※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.68.28 (09/05 02:19)
推 Lindemann:果然是高手,英雄出少年,好啦,每次你要我停戰就立刻停啦 09/05 02:44
→ xgcj:恩 我要把你這句話當簽名檔 09/05 02:46
推 Lindemann:><不過其實路徑積分不是很好用,你覺得呢,算起來很麻煩 09/05 02:48
→ Lindemann:他只是觀念上非常深刻和物理非常美,不過我也好久沒念了 09/05 02:48
→ xgcj:看你題目啦! 我算SHM是用算符最快 09/05 02:50
→ Lindemann:繼續去睡啦,x大還真是熱血,都讓你邊簽名檔讓你爽好了XD 09/05 02:50
→ xgcj:QFT 用PI會比較有系統 09/05 02:51
→ xgcj:反正都是等價的 09/05 02:51
→ Lindemann:嗯嗯嗯...QFT最重要就是PI的計算吧,QM用PI殺雞用牛刀 09/05 02:52
→ xgcj:應該是適用性問題 你用PI可以直接之道Green function的生成函 09/05 02:53
→ xgcj:數 用正則方式去做 比較可以看出粒子一顆顆的樣子 09/05 02:54
推 Frobenius:太強了>< 09/05 19:33