推 ed78617:欸你答案怎麼少一項啊？ 09/06 20:42
你應該是指 -qδ(r)θ(t) 這一項吧?
我先承認我這個嫩咖完全忽略這個了XD
然後我又回去看, 得到了個結論
→ → 1 q ^
E ( r , t ) = - ------ ----- θ(vt-r)r (θ是step function)
4πε0 r^2
→ q
ε0(▽．E) = -qδ(r)θ(t) + -------δ(vt-r)
4πr^2
第一條式子是題目給的，第二條是你的解答給的，
先馬後炮一下，二式明顯表示出時間t>0之後，在r=0以及r=vt處各有電荷分布
回來看一式，前面那坨大家都知道的不講了，
θ(vt-r)告訴我們電場只有在 vt-r > 0 的時候存在，那這表示一開始是沒有任何電場的
因為若t=0, r<vt → r<0, 這表示電場不在r的座標空間出現
那一開始總電量是0, 後來總電量也要是0,
所以前面算出來的電荷密度
q １
ρ = ----- ---- δ(vt-r)
4π ｒ^2
他積分起來是q，那我們就要在ρ裡加上某一項，使他積分起來是0
這一項明顯被積分後要是-q才對, 因此他是一個帶-q的電荷分布
那這項要怎麼加才會符合物理呢?
因為他一開始不存在,直到t>0才開始出現，因此必須加上一項θ(t),
然後+q的部份是球對稱的, 所以-q也要球對稱
+q是球對稱向外, 那-q只好向內, 但是一開始發生的時候+q的起點就是一個r=0+的點
所以-q也只好縮在原點一點, 因此要加上δ(r)
最後結果就變成-qδ(r)θ(t)了。
以上是物理, 你可以像我一樣算出來之後再說不合理, 然後再加一項。
可能會有人說數學不是很嚴謹的嗎? 為什麼你算不出來??
原因在於Ｃ式的後面那項，他本來是
→ →
ｆ(▽‧Ａ)
解答裡面沒有去執行這個▽算符的運算(也就是微分)
^
他利用▽．(r^-2 * r) = 4πδ(r) 把▽算符的運算略過,
而我是直接執行▽算符的運算, 這樣會有什麼結果呢?
→ ^ → →
因為Ａ函數只有r分量, 所以在球坐標的▽‧Ａ就是
（Ｈ式）
1 ∂
----- ------ ( Ａ*r^2 )
r^2 ∂ｒ
這也就是我Ｃ式的末項，而這項套用我的Ｄ式算出來是0,
會發生的問題在於r不能等於0, 否則上式發散,
什麼叫只有在r=0發散而r不等於0則函數值為0? 那根本就是包含δ(r)的函數。
所以我這樣直接執行微分, 你在執行中絕不會代r=0, 也就是避開了奇異點
那當然δ(r)這項消失了, 消失了就必須從物理上去推論, 把他拉回來討論, 如上文
若不要消失, 不習慣用物理去加一項減一項,
那就只好看到Ｈ式時，要記得1/r^2這項在r=0會發散,
發現有發散點的問題之後, 就是兩條路,
一是設法不執行該運算, 就是解答的方法,
另一個就是把可分析的區域算出來(就是我執行微分的部分),
然後不可分析的點拿出來討論(就是用物理找出另一項的部分),就是我的方法
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好吧, 我承認我數學很爛XDD
※ 編輯: rockdanger 來自: 122.120.128.169 (09/06 23:35)
※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
: 打一下題目好了，其實是個數學問題啦
: → → 1 q ^
: E ( r , t ) = - ------ ----- θ(vt-r)r (θ是step function)
: 4πε0 r^2
: → →
: B ( r , t ) = 0
: Show that these fields satisfy all of Maxwell's equations, and determine ρ
: →
: and J .
: =============================================================================
: →
: 使用ρ = ε0(▽．E) 求ρ時
: →
: 解答的做法是將E拆成f和A相乘
: → 1 q ^
: 令A = - ------ ----- r ， f = θ(vt-r)
: 4πε0 r^2
: → → →
: 利用▽．(fA) = ▽f．A + f(▽．A)
: → q
: 求得 ε0(▽．E) = -qδ(r)θ(t) + -------δ(vt-r)
: 4πr^2
: ^
: ( 使用▽．(r^-2 * r) = 4πδ(r) )
: 那，假若我令
: 1 q → ^
: f = - ------ ----- ， A = θ(vt-r)r
: 4πε0 r^2
: q
: 如此似乎就得不到 -qδ(r)θ(t)這項了(會看到兩個θ函數相消)，只有 -------δ(vt-r)
: 4πr^2
: 懇請高手們幫忙解惑，謝謝
這題對很多高手來說應該不是難題, 甚至原PO應該都已經會算了,
但我想有些人可能會想知道:「怎會想到這麼做?」
因為知道為什麼會想到這麼做之後, 弱者才能變成真正不靠解答的威哥XD
文長慎入！（魏延：？？）
以下分為兩個篇幅，前面很大篇幅在談解答為什麼要那樣做，
後面篇幅是純數學的暴力直接解法。
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==================================第一篇======================================
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一個簡單的例子:「2x+1=2」, 請你解x, 你會怎麼做?
在下手之前先想想, 你的目的是什麼? 題目要你解x,
那目的明顯就是把方程式寫成 「x=某某某」的形式
所以你會「開始把1移到右方, 然後再把2除到右方, 使左側x孤立」
要是你問上句引號裡的做法, 為什麼會想到這麼做?
我就可以回答你因為這樣可以讓方程式變成「x=某某某」的形式, 進而達到目的。
ok, 抱歉以上污辱了一下大家的智商, 現在進入正題, 但是這題的想法其實是一樣的。
首先, 題目要你證明Maxwell Eq1, 那你必須取
（Ａ式）
→
▽．Ｅ
div的物理意義是發散量, 其實就是流量變化之類的概念, 而數學上變化率就是微分計算,
來想想看, 微分跟下面這個式子的每一項放一起, 哪一項讓你特別有感覺?
（Ｂ式）
→ → 1 q ^
Ｅ ( r , t ) = - ------ ----- θ(vt-r)r (θ是step function)
4πε0 r^2
(題目下面有hint說在Prob 1.45b)
看看Prob 1.45b, 你應該要回想起來, step function的微分是delta function
那delta function可以幹嘛呢? 你應該會想到積分之後等於1吧?
那積分又要幹嘛呢??回去看看題目, 他要你定義ρ, 你以前是怎麼定義ρ的?
如果有一個函數F對空間的體積分等於該空間內分布的總電荷量, 那這個F就是ρ咩!
所以到此為止, 目標1很明顯了, 就是
「設法用微分的方式,把step function變成delta function, 再積分, 證明他積分後是q」
ok,開始執行目標1, 我問你, 我要把step function微分,
你覺得單獨微分一個θ簡單, 還是(一堆函數*θ)再微分簡單?
明顯是前者, 所以就要把f設成θ,然後再去微分, 這就是解答為什麼要這麼做的原因。
執行如下:
（Ｃ式）
→ → ∂ｆ ｆ ∂
▽‧(ｆＡ) = Ａ(------) + ------ ------（Ａ*ｒ^2）
∂ｒ ｒ^2 ∂ｒ
→ ^
PS. Ａ = Ａr
∂ｆ
仔細看這個Ｃ式，(------)這項就是單獨微分，因此設ｆ = θ，就可以達到目的。
∂ｒ
那你說我可不可以不要設ｆ = θ，自己設定？
當然可以，但不是亂設，設定要能達到目標才有意義，
比如說Ｃ式的最後一項，如果我設：
（Ｄ式）
→ θ ^ －q
Ａ = ------ r， ｆ = ----------
ｒ^2 4πε0
就可以讓C式的最後一項變成r對θ的單獨微分, 那不也可以達到目的了嗎?
各位算算看就知道結果會一模一樣。
所以重點就是先分析題目, 找到初期目標, 然後再想辦法找切入點
接著, 要定義ρ, 剛才有提到, 某函數對空間積分後變成電量就是ρ,
→
那很明顯，根據Maxwell Eq1，「 ε0*(▽．E) 」 的等式右方積分起來要是q
所以就把剛剛的結果直接對球坐標無限大空間做體積分吧!
將Ｄ式的設定套用至Ｃ式（或是將解答的設定套用進去也可以，結果一樣），得到：
（Ｅ式）
→ → → → ∂ｆ ｆ ∂
▽‧Ｅ = ▽‧(ｆＡ) = Ａ(------) + ------ ------（Ａ*ｒ^2）
∂ｒ ｒ^2 ∂ｒ
ｆ ∂θ ｆ
= 0 + (------)(------) = (------)*[－δ(vt-r)]
ｒ^2 ∂ｒ ｒ^2
q １
= -------- ---- δ(vt-r)
4πε0 ｒ^2
（Ｆ式）
→ → q １
(▽‧Ｅ)*ε0 = ----- ---- δ(vt-r)
4π ｒ^2
對Ｆ式右邊做球坐標之無限大體積分，你會發現他剛好等於q，
因此定義被積分函數為電荷密度函數：
q １
ρ = ----- ---- δ(vt-r)
4π ｒ^2
這樣就是解答的整個想法以及其執行結果了，很久沒做了，有錯請指教。
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==================================第二篇======================================
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不要用什麼函數分離的，我就只是想要證明電場散度是電荷密度乘上1／ε0
直接取球坐標中的散度：
（Ｇ式）
→ → 1 ∂ ┌ －q*θ(vt-r) ┐
▽‧Ｅ = --- -----│(r^2) (----------------) │
r^2 ∂r └ 4πε0 * r^2 ┘
q １
= -------- ---- δ(vt-r)
4πε0 ｒ^2
這個結果，剛好只跟Ｅ式一樣，所以剩下的就只是取體積分定義ρ就好了。
考試的時候我應該會直接寫Ｇ式吧 XD ，又直觀，又少運算。
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剩下的自己作業自己做(逃
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