作者caseypie (吟遊詩人)
看板Physics
標題Re: [問題] 量子力學
時間Wed Sep 14 06:49:31 2011
※ 引述《skypieasalic (sky)》之銘言：
: 想請問我個人本系的物理化學一題 在這門課程有部份是量子力學的內容
: 因此我才來貴版發問 想聽聽物理系的各位觀點
: http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/graduate/100/100064.pdf
: 這是台大化學系的研究所物化考題 我想請教的是第二題
: 這應該是物理系跟化學系都有涉足的內容 particle in box(粒子在一維盒中的運動
: ) 先說結論好了 我門的物理化學教科書 是說兩個互相commute的操作子
: 某波函數是其中一個操作子的eigenfuction的話 則某波函數也會是另一個操作子的
: eigenfuction 這書上有證明是對的 但在這個系統之中 題目的波函數解是能量操作子的
: eigenfuction 但是此波函數解卻不是動量操作子的eigenfuction 但是能量操作子
: 卻是跟動量操作子commute
: 我跟本系的同學討論完之後 都還沒有確定的答案 請各位為我解惑 謝謝
: 如果能依題目要求 用3句話以內解釋就更好了
這是個好問題
關鍵在於，彼此commute的operator，雖然eigenfunction可以互通
但是若存在degeneracy，則可能會有不同的對應關係
對於一個特定能量E，動能算符的eigenfuction是exp(±i√(2mE)/hbar x)
也就是說，給定一個特定能量，可以解出兩個degenerate的eigenfunction
但是對於動量算符，這兩個波函數分別對應到了動量為√(2mE)和-√(2mE)
雖然兩個波函數依然都是動量算符的eigenfunction，卻是對應到不同的eigenvalue
那麼，在無窮位能井這個題目裡，出了什麼事？
在解出動能算符的eigenfunction時，為了符合邊界條件
出現的解是上述兩個degenerate eigenfunction的混合體
（註：sin(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/(2i) ）
因為是degenerate state，所以這個混合體依然還是對應於特定E的eigenfunction
但是對於動量就不一樣了，這兩個波函數根本不是對應到同個動量
這樣混在一起當然就不再是eigenfunction了
兩句話解釋的版本：
No. The Hamiltonian operator has two degenerate eigenfunctions, exp(±ikx),
which are also eigenfunctions for the momentum operator but corresponding to
different eigenvalues (momentum k and -k). To satisfy the boundary condition,
the solution of the Hamiltonian is a mixture of the two degenerate function,
which is no longer an eigenfunction of the momentum operator.
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◆ From: 99.90.133.126
推 oNeChanPhile:清楚簡單~ 09/14 18:18
推 h888512:水 09/14 20:53
推 leo80042:推 09/14 23:48
推 hcm1044:考慮全域的Hamiltonian,[P,H]不等於0,因為還有位能V=V(x) 09/15 00:14
推 TouchAgain:你用了三句話XDDD 09/15 00:21
→ hcm1044:那把第一個逗點拿掉 ! 09/15 00:24
→ caseypie:把No當成標題吧 09/15 00:39
→ caseypie:全域的問題其實也就是boundary condition的問題 09/15 00:43
→ caseypie:而且「全域」這個詞會衍生出定義問題： 09/15 00:46
→ caseypie:我可以說我考慮的空間就只是這個位能井，其他不管 09/15 00:47
→ caseypie:或說我的位能井就跟宇宙一樣大 09/15 00:47
推 cirro:cool 09/15 20:40
推 wubohan:如果不是degeneracy結果就會一樣?degeneracy關鍵在? 09/16 15:05
→ caseypie:有degeneracy，那commute的算符就未必有同樣eigenstate 09/16 21:45
→ pennyleo:因為degeneracy展開的是一個sub-vector space 09/17 02:47
→ pennyleo:在某個sub-vector space互相commute的算符 09/17 02:49
→ pennyleo:不一定在整個vector space均為commute 09/17 02:49
→ pennyleo:不知道我這樣講能不能符合caseypie的意思// 09/17 02:52
→ pennyleo:我弄錯了 應該不是我講的意思 09/17 03:10