Re: [請益] 近物有關波函數 能階 量子數的問題

[realtemper (精彩不亮麗)]

※ 引述《kid50927 (fish)》之銘言：
: 7.量子力學中算符[ ]的物理意義是什麼呢?作用在Ψ上又是什麼意思?
:   EX:[E]Ψ=ih dΨ/dt

針對這個問題，我姑且給妳一個容易理解的說法：

對於粒子存在的狀態
古典物理是以明確的位置與動量來描述的
但是量子物理只要寫出波函數就結束了，不用外加任何東西。

我們知道，波函數一般可用傅立葉轉換分解成不同的簡諧「成份波」：

                     i(kx-ωt)
Ψ(x,t) = ∫∫a     e          dkdω
               k,ω

如果系統為 time-independent 就是

            ikx
ψ(x) =∫a e   dk
          k

哪個形式不是重點。
重點是：
如果波函數真的如同量子力學所期待的，能夠「完整描述物質的存在狀態」，
那麼換句話說  一旦我寫下了波函數
就表示古典物理裡面的動量、能量等資訊，都已經包含在波函數當中了
只是妳還不知道怎麼把它「抓」出來而已。

而動量與能量算符，就是一種從波函數中「擷取」物理量的動作而已。


在舊量子論時期（已知 wave-particle duality 但尚未使用波函數來描述物質）
               _         _
就已經知道 p = hk 與 E = hω
                                     i(kx-ωt)
而我們若要從一個「成份波」 φ(x,t)= e          中擷取動量或能量的資訊，

該怎麼做呢？很容易想到
                                                _
1.擷取動量：做d/dx（偏微分）可得 ikφ，再乘以 -ih  即得 pφ。
                                                 _
2.擷取能量：做d/dt（偏微分）可得 -iωφ，再乘以 ih  即得 Eφ。


這樣就不難理解為什麼動量算符跟能量算符會長這樣：

      ︿    _         ︿    _
      Px = -ih d/dx , Ε = ih d/dt

又，假如對這些算符取期望值（固定於某一時間）

      ︿           * ︿           *    -i(kx-ωt)           i(kx-ωt)
例如 <Px>(t) = ∫Ψ  Px Ψ dx =∫a    e           p  a     e          dx
                                  k,ω             x  k,ω

                  2
       = ∫|a    |  p  dx
             k,ω    x

我們也可以發現：算符的期望值，的確就是算符所對應的物理量之期望值。

                2
因為其中 |a    |  就是各個成份波的強度（機率密度），
           k,ω

         2
∫|a    |  ___ dx 這個運算，就是對成份波強度取加權平均，即期望值運算。
    k,ω




不過妳也許已經知道，「算符」其實是一般的概念
只要是一個動作  都可以寫成一個算符
很多其他算符例如平移算符、鏡射算符等等，
其功能都不在於「擷取」，而是去操作並改變波函數的狀態。
所以我才會說
就更高的層次來看  上面的講法也許都是 bullshit
充其量就是一個簡易的解釋罷了。

認真講起來，Px 算符為什麼會長那樣
還是要從 x- 與 k-representation 的互換來看（研所量子力學會講）
直接講結果，

 x 算符等價於 i d/dk  （i.e.用 k-basis 來描述 x，x 長 i d/dk）
 k 算符等價於 -i d/dx （i.e.用 x-basis 來描述 k，k 長 -i d/dx。
                            這正是我們(x,t)座標系所需要的。）

利用 k → -i d/dx 的數學關係
       _                   ︿     _
配合 p=hk 的物理，就會得到 Px = -ih d/dx。


雖然這種亂七八糟的解釋  也許會讓很多牛人吐血
不過我自己就曾經在算符的地方卡了很久
加上看過太多從算符的地方就似懂非懂
以至於量物(或物化)整個爛掉的例子....
我現在覺得
不管黑貓白貓  能夠抓到老鼠就是好貓
以上簡單的看法，妳喜歡的話，就將就一下吧！
先找到一個能夠說服自己的解釋
至少量物的學習有個好的開始
更深的意涵爾後再慢慢去體會就可以了。

其他問題可以請教妳的牛人學長 xgcj
他對幫助女生很熱衷的，我相信板友都知道 ﹨(╯▽╰)∕

--
                        ▆▅▃▁ ∫(real＊seagreen)dt ▁▃▅▆
             ╪
    ◢◣◢◣ ｜  ｜╭─╮╭─＊ ╲              ｜╭─╮ ____ ╭─＊ ╲
    ████     ｜｜''｜｜''｜   ╲   ￣￣￣   ｜｜''｜｜‥｜｜''｜   ╲
    ◥██◤     ｜╰┬╯╰┬╯   ╱            ｜╰┬╯╰┬╯╰┬╯   ╱
      ◥◤       ｜  ╰╮  ╰╮ ╱     ￣￣￣   ｜  ╰╮  ╰    ╰╮ ╱

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.27.0.238
推 xgcj:屁啦 我哪有
推 kid50927:謝謝解說~雖然我不認識樓上XD樓上應該不是Emilio吧
推 obluda:最後一段為真...
→ realtemper:結果文學姊姊的故事都沒下文 唉 真掃興～
→ realtemper:現在期待強者x大 快快去幫同校學妹 這樣鄉民才有戲看XD
推 j0958322080:中肯給推
※ 編輯: realtemper      來自: 114.27.0.238         (09/23 13:35)
推 ed78617:Emilio是博班的，一樓還在大學部
推 kanonehilber:獲益良多