Re: [問題] Lagarangian自變數是獨立的？

[Schwinger (Schwinger)]

※ 引述《sputtering (水煮青蛙全球暖化)》之銘言：
: ※ 引述《Schwinger (Schwinger)》之銘言：
: :                why?
:                        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
          δS = ∫[(d/dq)L - (D/Dt)(d/dv)L ] δq dt

        It's should be (d/dq)L-(D/Dt)(d/dv)L=0


        你會證明這個式子嗎? 我猜99%的物理系學生沒念過V.I.Arnold的古典力學

應該都會把這步視為trivial,事實上這一點都不trivial,我在第一次學也沒發現這可證

但是我在當助教時候卻不敢對大二學生提,一來是自找麻煩,二來是其實還有一個問題

因為我怕有人問我那δS的δ怎麼弄進去積分裡面><,其實這是個很好的微積分證明題

我寫一個命題好了

命題:

            設f(x)在區間[a,b]連續,且η(x)在區間[a,b]中有n階導數,若對於某個數

m(m=0,1,2,3....,n)滿足
                          (k)_      (k)
                        η  (a) = η  (b) = 0       ( k = 0,1,2,3....,m )

                    b
                  ∫      f(x) η(x) = 0 恆成立,則在間[a,b]上必有 f(x) = 0
                    a


證明就很簡單自己去看V.I.Arnold的力學




: :    1. δS=0這裡有積分喔,而且是上下限給定的積分,你怎麼證明下列
: :        (d/dq)L=0, (d/dv)L=0  給個證明,你寫太簡略了
: :    2.既然都寫q了,那就不應該寫v,不然你q也寫個x讓我比較"舒服"一點
: :      學過理力的應該都知道q'和v物理是不太一樣的意義

                至於我為何不喜歡把q和v混在一起,這個是有數學根據的

Marion p.234

              x_α,i = x_α,i ( q_1, q_2, q_3.....q_s;t)        ;把t視為參數

          其中 α = 1,2,3....n  i= 1,2,3

         x_α,i = x_α,i (q_j;t)      j = 1,2,3 .....s

   則
                   .        .           .
                   x_α,i = x_α,i (q_j,q_j,t)

 我們可以寫下這個逆轉換


                 q_j =  q_j ( x_α,i ;t)

                 .      .             .
                 q_j =  q_j ( x_α,i, x_α,i ;t)


        還有把q'寫成v絕對是行不通的,因為廣義動量q'的定義會出問題

                                 ∂L
                      p_j = mv = ____        ????

                                 ∂q_j
廣義動量根本不是這樣來的


希望這一連串無聊的系列就此打住吧@@

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◆ From: 140.113.28.113
→ ic6413:.....
推 zxxsd:這篇文章有Linderman的味道XD                          (IP
推 shikihuang:是理力助教?
推 YSimpson:這個 Euler equ 不是在 Marion 的第六章就已經證完了嗎?
→ YSimpson:V.I.Arnold的古典力學是要看哪一頁??
推 boyzone66:對阿arfken不是也有證嗎....@@
推 chungweitw:η(x) 應該只要是 any continuous functions 就可以了
→ chungweitw:哦..在 Arnold 的 p57
→ dongkuy:這大二程度就會了吧...