Re: [問題] Lagarangian自變數是獨立的？

[Schwinger (Schwinger)]

※ 引述《zhanguihan (han)》之銘言：
: ※ 引述《Schwinger (Schwinger)》之銘言：
: :           δS = ∫[(d/dq)L - (D/Dt)(d/dv)L ] δq dt
: :         It's should be (d/dq)L-(D/Dt)(d/dv)L=0
: :         你會證明這個式子嗎? 我猜99%的物理系學生沒念過V.I.Arnold的古典力學
: : 應該都會把這步視為trivial,事實上這一點都不trivial,我在第一次學也沒發現這可證
: : 但是我在當助教時候卻不敢對大二學生提,一來是自找麻煩,二來是其實還有一個問題
: : 因為我怕有人問我那δS的δ怎麼弄進去積分裡面><,其實這是個很好的微積分證明題
: : 我寫一個命題好了
: : 命題:
: :             設f(x)在區間[a,b]連續,且η(x)在區間[a,b]中有n階導數,若對於某個數
: : m(m=0,1,2,3....,n)滿足
: :                           (k)_      (k)
: :                         η  (a) = η  (b) = 0       ( k = 0,1,2,3....,m )
: :                     b
: :                   ∫      f(x) η(x) = 0 恆成立,則在間[a,b]上必有 f(x) = 0
: :                     a
: : 證明就很簡單自己去看V.I.Arnold的力學
:   This statement is not true since there is a counterexample:
:   Let [a,b] = [-1,1]
:   Let f(x) = sin(pi*x)  for all x on [-1,1]
:   Let η(x) = exp(-(1/(1-x^2))) for all x on (-1,1)
:       η(x) = 0 for x = -1 or 1
:  then these functions can satisfy above condition but f(x) is not equal to 0


             Your conterexample is  very good, and I have to give a little

supplement. Since η(x) can be  any continous function ,but in functional

analysis about generalized function , if η(x) is as smooth functor such as

your exponential form , the function is not zero in the bounded interval

and zero otherwise,then the bounded interval should be open interval.

This is very important in generalized function.

http://www.personal.soton.ac.uk/jav/papers/Global_Theory.pdf

          總之,您提的這反例我剛好沒有說清楚><,後來我去看泛函的書才有,

η(x)稱大陸書做是"軟化子",如果是您說的這種函數就必須把閉區間改成開區間(-1,1)

那就沒有您所說的這種問題了,這裡再有問題要去問數學系的高手了><






: :                 至於我為何不喜歡把q和v混在一起,這個是有數學根據的
: : Marion p.234
: :               x_α,i = x_α,i ( q_1, q_2, q_3.....q_s;t)        ;把t視為參數
: :           其中 α = 1,2,3....n  i= 1,2,3
: :          x_α,i = x_α,i (q_j;t)      j = 1,2,3 .....s
: :    則
: :                    .        .           .
: :                    x_α,i = x_α,i (q_j,q_j,t)
: :  我們可以寫下這個逆轉換
: :                  q_j =  q_j ( x_α,i ;t)
: :                  .      .             .
: :                  q_j =  q_j ( x_α,i, x_α,i ;t)
: :         還有把q'寫成v絕對是行不通的,因為廣義動量q'的定義會出問題
: :                                  ∂L
: :                       p_j = mv = ____        ????
: :                                  ∂q_j
: : 廣義動量根本不是這樣來的
: : 希望這一連串無聊的系列就此打住吧@@

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◆ From: 140.113.28.113
※ 編輯: Schwinger       來自: 140.113.28.113       (10/06 00:17)
推 WINDHEAD:雖然數學上有點小複雜,但其實不用弄得那麼複雜,因為
→ WINDHEAD:η的幾何(or物理)意義只是 deformation 而已, 取其為
→ WINDHEAD:任意的 smooth pulse function 即可
→ WINDHEAD:我們只需要取η可以concentrate到任一點就行了
→ Schwinger:推WINDHEAD大,您替我做了一個最好的詮釋:)
推 john01:你不是不來物理版了??如果認錯人抱歉~~~