Re: [問題] 外積在向量空間是否有被定義?

[WINDHEAD (Grothendieck吹頭)]

※ 引述《mgtsai ()》之銘言：
: 一般而言，外積值是二階(外)張量
: 不過在三維向量空間中，二階外張量的維度剛好也是三維
: 所以在三維向量空間，外積值剛好可以使用向量代表
: 不過在其它維度就無法這樣做
: 在其它的維度如下
: 二維空間中兩向量的外積：一維
: 三維空間中兩向量的外積：三維
: 四維空間中兩向量的外積：六維
: 五維空間中兩向量的外積：十維
: .....

雖然外積的性質跟二階外張量很像，

但外積的實際維數可能比二階外張量還少

比方說在七維空間中 e_1^e_2 跟 e_4^e_7 跟 e_6^e_5 可以同時設成 e_3

如此一來將大大減少外積的維數

你的 dimension counting 必須將這件事考慮進去唷


(呃...好像跟物理不太有關係)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 24.12.185.108
推 xgcj:推 大大可以將這些結構說清楚一些嗎?
→ WINDHEAD:七維的原則是 e_i^e_(i+1)=e^(i+3) 然後這三個傢伙自己
→ WINDHEAD:形成一組 R^3 的外積
→ WINDHEAD:其實如果你很會猜的話,或許可以猜 2^n-1 維才能定義外積
→ WINDHEAD:利用實射影空間的上同調群(over Z_2)很容易證明這件事,
→ WINDHEAD:但實際上情況更嚴峻, 只當 n=1,2,3 的時候才存在外積
→ WINDHEAD:這個跟Bott periodicity有關,但我不知道怎麼在這裡解釋
→ WINDHEAD:姑且當做茶餘飯後的閒聊好了XD
→ Vulpix:1,3,7這個跟division algebra有關？
→ WINDHEAD:就是division algebra囉
→ WINDHEAD:如果你希望兩個向量尬在一起生出小向量就只能這樣幹了
→ sneak: 1,3,7這個跟div https://noxiv.com
→ sneak: 但實際上情況更嚴峻,  https://daxiv.com