※ 引述《legenthume (沒有腳毛生不如死)》之銘言：
: [領域] (題目相關領域)
: 電磁學
: [來源] (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]
: suppose LaplacianV=0 in a space region # bounded by the closed surface S
: (a) If the normal derivative
: V對n偏微分=gradientV對n內積
: is specied for every point on S, show that V is determined up to a constant
: everywhere in #.
: (b) 10% If the value of V is specied on the portion S1 of the surface S, and
: the normal
: derivative is specied on the rest of S, show that V is unique in #.
: (Hint: Make use of the Green's theorem)
: [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
先推導Green's first identity
φ1、φ2為任意的位置函數
2
已知▽．(φ1▽φ2) = φ1*▽φ2 + ▽φ1．▽φ2
2 3
故∫(φ1*▽φ2 + ▽φ1．▽φ2)d x = ∮φ1*(δφ2/δn) da ←由divergence 定理
V S
上式即Green's first identity
假定本題中，surface S 內的電位有兩解：V1及V2
現令 U =V1-V2
將U =φ1=φ2代入Green's first identity，得：
2 3
∫(U*▽ U + ▽U．▽U)d x = ∮U*(δU/δn) da
V S
2 2 2
由本題條件，▽ V1 = ▽ V2 = 0 ， 故▽ U = 0
3
∴ ∫|▽U|^2 d x = ∮U*(δU/δn) da
V S
Ⅰ、當邊界S上的δV/δn給定時，δU/δn = 0 on S
3
∫|▽U|^2 d x = 0 => V1-V2 為constant
V
V1和V2差一個常數(即(a)題所述"V is determined up to a constant.")，故為同一解
Ⅱ、當邊界S上的V給定時，U = 0 on S
同樣，
3
∫|▽U|^2 d x = 0 => V1-V2 = 0 (滿足boundary)
V
V1、V2為同一解
由Ⅰ、Ⅱ，(b)小題得證
--
／￣￣￣ ㄟ | ｜
／ ㄟ | ｜
| （> )（ <） ＜ XD ｜
| /// （_人_） | ｜
| \__/ ! | ｜
| ㄟ \＿＿＿＿|
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.102.167