[請益] 電容問題

[profyang (prof)]

感覺自己讀電類科系這麼久還問這問題有點不好意思:P

我想問的是:

靜電學中多導體系統電壓與導體上電荷的關係

也就是例如Jackson 43頁寫的

Vi=Σpij*Qj

或是

Qi=ΣCij*Vj

像Jackson裡面就說

pij(或Cij)是只跟導體的幾何結構有關的

我想問的其實就是這該如何證明

Jackson裡面是說因為"電壓和電荷密度有一個linear functional的關係"

(上面雙引號裡面應該就是指V=1/(4πε0)*∫ρ/|r-r'|d^3r這個式子)

所以這等於是在告訴我

ρ/(∫ρd^3r)=ρ/Q只跟幾何結構有關

試問這又如何證明?

似乎很直觀的東西

但我卻想不出來要如何嚴謹地從數學上證明

目前想到唯一方法就是

似乎可以利用Jackson 39頁的式子

(用Green's function解Dirichlet boundary condition的poisson equation)

V=1/(4πε0)*∫ρ(r')*G(r,r')d^3r'-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA'

因為導體外的電荷ρ=0(電荷只分布在導體表面)

所以V=-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA'

然後導體表面的電壓又是定值

所以V=-1/(4π)*ΣVi∮*δG/δn'*dA'
                i  Si
因為Green's function只是跟幾何結構有關

所以這等於就證明了Qi=ΣCij*Vj這個式子

(因為Qi=-ε0*∮δV/δn*dA')
             Si
但這個解法實在有點複雜

不知道有沒有更簡單的想法可以證明?

是我想得太複雜忽略了什麼簡單的觀念嗎?

請大家不吝賜教

謝謝!

--
正妹也只不過是一組物質波方程的特解罷了( ￣ c￣)y▂ξ

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.169.42.4
推 TDOJ:真的滿直觀的吧..如果你有個電荷密度分布在在空間產生一個電
→ TDOJ:位場，則你把全域的電位密度改成K倍，則全域的電位也會改成K
→ TDOJ:倍
→ profyang:可是你這前提是ρ/Q要維持定值,那V才確定會變K倍
→ profyang:今天我如果只知道Q變成K倍 要如何知道V也變K倍?
→ TDOJ:因為Q變K倍後，為了滿足導體邊界條件，ρ也勢必只能變K倍呀
→ TDOJ:導體問題的解是唯一決定的
→ profyang:所以你等於就是說ρ/Q是定值了~那要如何證明這個?
→ TDOJ:我推的第二行的第一個電位改成電荷
→ profyang:恩我知 我就是想要知道:為何ρ/Q只跟幾何結構有關~
→ TDOJ:因為這樣能維持導體的邊界條件啊，然後導體問題的解是唯一決
→ profyang:能證明這件事等於就證明我想問的問題了
→ TDOJ:定的，所以ρ變K倍就是正確解了
→ profyang:導體的解是唯一 這件事就是我說的Dirichlet problem阿~
→ TDOJ:當然只能跟結構有關阿XD 靜電問題就是跟電荷量跟電荷排列狀
→ profyang:它是要給定導體上的電位 就能唯一決定導體外面的電位分佈
→ TDOJ:況有關而已
→ profyang:但是你要怎麼證明現在邊界條件改變了(V變K倍) 則分布情形
→ profyang:還是一樣只是變K倍?
→ profyang:可能我比較龜毛 需要從數學式子上看才比較能接受...
→ profyang:要證明上面的事情怎麼想都還是要用到Green's function吧
→ profyang:       /你講\
※ 編輯: profyang        來自: 118.160.192.238      (12/25 19:46)
→ TDOJ:是要用green function沒錯 不過寫出來(大概)也只是看他的線性
→ TDOJ:關係而已
→ profyang:那這樣也跟我文內所打的差不多吧~只是我是直接把它加起
→ profyang:來了~而你的做法則是要再加上重疊原理
→ TDOJ:因為分布情況變K倍電位也會變K倍阿，所以我看到電位變K倍，
→ TDOJ:就猜他是分不便K倍，然後再用唯一性證明他是對的
你的意思是:

Dirichlet邊界條件V=>KV

然後猜測電位分布Φ=>KΦ

而KΦ確實滿足lapalace equation

所以KΦ就是它(邊界條件KV)的唯一解?

所以Q=-ε0*δΦ/δn也變K倍?
推 TDOJ:總結一下我的想法好了，首先你有一個特定結構的導體系統
※ 編輯: profyang        來自: 118.160.192.238      (12/25 19:56)
→ TDOJ:在結構不變，電荷加倍的情況，電位也必然加倍，故電容(電荷
→ TDOJ:跟電位比值)只能跟結構有關(或沒關)
→ profyang:恩大概了解你的意思了 總之就是從解的唯一性出發
→ TDOJ:差不多y
推 realtemper:我的想法同T大最後那四行～當電位加倍時 電荷加倍顯然
→ realtemper:是一解(因為電阻電容電感這些元件都是linear)
→ realtemper:然後又因固定邊界條件後，Laplace eq.的解是唯一的
→ realtemper:所以一定是整個系統一起linear～
→ realtemper:btw,你慚愧什麼啊～認真看Jackson就夠厲害了啊～
→ profyang:恩謝謝學長~讀Jackson只是想既是號稱研究電磁波的電信所
→ profyang:應該要好好把Jackson從頭到尾讀完一次 雖然用不到= ="
→ sneak: 那這樣也跟我文內所打的 https://noxiv.com
→ sneak: 是一解(因為電阻電容電 https://daxiv.com