推 baal678:推 01/02 22:07
※ 引述《HP4145B (神之弓)》之銘言：
: _
: 期望值：f(x) = ∫Ψ*f(x)Ψdx
: 我知道f(x)都擺中間是因為operator要跟後面的波函數作用
: 但Eisberg第五章習題15講到
: 如果是要算動量×位置的期望值, 也就是f(x)=xp
: __
: 這時候xp不能寫成∫Ψ*xpΨdx 說因為結果不是實數
: 而是要寫成∫Ψ*[(xp+px)/2]Ψdx 出來是實數才會是正解
: 看解答感覺只是要配合現實條件 所以把結果湊成實數
: 但光湊成實數的話難道不會有其他寫法嗎？
: 感謝解惑!
首先先說operator為什麼放中間
課本應該會說到，你們用的那本書我是不清楚，如果沒興趣可以直接看後面的部分XD
假設你大致已經認識了probability interpretation
並接受我們可以用一個self-adjoint operator 的eigenstate來表示任何(physical)state
以下很大部分會用Dirac notation，另外eigenstate和eigenvalue我都會加上'
這樣可以很方便地和operator區分出來
當我們做了一個量測，會將波函數投射到量測所代表的operator的eigenstate
譬如測量能量E，H|E'> = E'|E'>，則會將|ψ>投射到其中一個|E''>
而其probability amplitude是<E''|ψ>
今天，我們要得到期望值，也就是各個可能出現的值(也就是eigenvalue)乘上他的機率
也就是等於ΣE'(|<E'|ψ>|^2)
=ΣE'<ψ|E'><E'|ψ>
=Σ<ψ|E'><E'|H|ψ>
=<ψ|H|ψ> (Σ|E'><E'|=I)
continuum spectrum，譬如momentum的話:
首先|ψ>=∫dp'|p'><p'|ψ>
<p> = ∫dp' p'(|<p'|ψ>|)^2
= ∫dp' p'<ψ|p'><p'|ψ>
= ∫dp' <ψ|p'><p'|p|ψ>
= <ψ|p|ψ> (∫dp'|p'><p'|=I)
至於如果想知道採用波函數的寫法，可以選擇在適當位置加上∫dx'|x'><x'|=I :
譬如<p'|ψ> = ∫dx'<p'|x'><x'|ψ>
= ∫dx' p'*(x')ψ(x')
上面的p'(x')是momentum eigenfunction，也可以說是x eigenfunction在momentum
space的表示方式(投影)
ψ(x')是position space的波函數，<p'|ψ>自然就是probability amplitude
也可以說是momentum wave function
反過來操作的話:
∫dx' ψ*(x')pψ(x')
=∫dx' ψ*(x')p∫dp'φ(p')ζ(p',x')
(φ(p')是probability amplitude，ζ(p',x')是momentum eigenfunction)
=∫dx' ψ*(x')∫dp' p'φ(p')ζ(p',x')
=∫dx' ∫dp''φ*(p'')ζ*(p'',x')∫dp' p'φ(p')ζ(p',x')
=∫dp''dp'p'φ*(p'')φ(p')∫dx'ζ*(p'',x')ζ(p',x')
=∫dp''dp'p'φ*(p'')φ(p')δ(p''-p')
=∫dp'p'φ*(p')φ(p')
=∫dp'p'(|φ(p')|^2)
=<p>
當然，上面p你可以換成其他operator，但是整體想法是一樣的
利用的是將波函數寫成各eigenfunction的疊加
以及eigenfunction間的orthonormal
discrete是Kronecker delta，contunuum是Dirac delta function
另一個簡單的作法，則是把operator寫成這樣:
H=ΣE'|E'><E'|，也就是eigenvalue乘上對應的projection operator之和
回到主要問題，上面的部分就當作騙P幣吧XD
在古典中的xp，也等於px，當然也等於(xp+px)/2等等
但是，在量子力學中，哪一個才是具有實際的物理意義?
一個Self-adjoint operator的eigenvalue(和期望值)必然是實數
因為一個具有物理意義的量一定會是實數
所以我們自然會期望一個physical observable所對應的operator是self-adjoint
所以，我們才選擇使用(xp+px)/2，因為他self-adjoint
另一方面，xp和px其他組合不可能是self-adjoint
另一個有趣的例子，像是x(p^2)，可以是xpp,ppx,pxp
pxp明顯是self-adjoint，但xpp,ppx組合後也可以是self-adjoint
所以只要是 apxp+(1-a)(ppx+xpp)/2 a從0到1，都是有可能的
那至於實際上是哪個就必須要靠實驗確定，因為pxp和(ppx+xpp)/2不會有相同的期望值
值得說的是，self-adjoint operator必然有實數的eigenvalue
但是，反過來的話，有實數的eigenvalue並不一定會是self-adjoint operator
所以non self-adjoint operator實際上說起來，並不能完全說不可能
但是要試的話，當然還是會先做比較有可能的XD
一些比較簡單的例子，應該是可以確認其eigenvalue是不是實數
我之前聽過的，有人嘗試非self-adjoint的Hamiltonian，而且有實數eigenvalue
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