※ 引述《mathptt (math)》之銘言：
: 求位於點P(0,0,z)之電場
: 若以球面上各點對於P點之電場做直接積分(不用高斯定律),則
: ps : 面電荷密度
: e0 : 介電常數
: Z : 向量Z(圓心到點z之向量)
: R : 向量R(圓心到面電荷之向量)
: z : 向量Z大小
: r : 向量R大小
: theta : 從0到pi
: phi : 從0到2pi
: |E| = ps/4pie0 ∫∫(Z-R)/|Z-R|^3 r^2*sin(theta)d(theta)d(phi)
: = ps/4pie0 ∫∫(Z-R)/(z^2+r^2-2zrcos(theta))^3/2 r^2*sin(theta)d(theta)d(phi)
: = (Q/4pie0)* (1/z^2-r^2)
: 為何與用高斯定律所算出來不同 (Q/4pie0)* (1/z^2)
軸對稱對phi積分 先寫成2pi比較清楚
令Z-R=Y 再令y=|Y|
電場直接投到z軸寫成Ez 也會比較簡單 就不用管向量
投影要多乘cos(alpha)
|E| = 2pi*r^2*ps/4pie0 ∫ sin(theta)cos(alpha)d(theta)/y^2
z^2+r^2-2zrcos(theta) = y^2
2zrsin(theta)d(theta)=2ydy
y^2+z^2-2yzcos(alpha)=r^2
|E| = 2pi*r^2*ps/4pie0 ∫ cos(alpha)ydy/zr*y^2
= 2pi*r^2*ps/4pie0∫ (z^2+y^2-r^2)/2zy * 1/zyr dy
=[Q/4*pie0*z^2](1/4r)*∫ (z^2+y^2-r^2)/y^2 dy
=[Q/4*pie0*z^2](/4r)* {y -(z^2-r^2)/y }|
=[Q/4*pie0*z^2](1/4r)* {2r- (z^2-r^2)(1/z+r -1/z-r) }
=[Q/4*pie0*z^2](1/4r)*(4r)
y的範圍是z-r~z+r
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格調--就是格調
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