→ TDOJ:electric potential當然寫得出來 就是0 電場全部由向量位貢獻 03/21 01:06
推 TDOJ:另外這題的確是有缺陷沒錯 03/21 01:09
※ 引述《lefan (紅汽球雯雯)》之銘言：
: 問題:一玻璃圓環水平放置於鉛直向上的磁場B中，
: 內有一直徑略小於環口的正電小球，
: 已知B(t)=Bo*ct，其中c為正的常數，
: t=0時，小球的初速為逆時針的v，
: 則何者正確
:
: Ans:小球將先減速為零，再反方向加速
:
: 想法:
: 可由法拉第定律可之
: d(Bo*ct*piR^2)
: ɛ=- -------------- = -Bo*c*pi*R^2
: dt
:
: ɛ=2piR*E=-Bo*c*pi*R^2
:
: Bo*pi*R
: E=- -----------
: 2pi
這個計算有問題, 問題底下再說.
: 故知在玻璃環中有一個反向的電場，故會先減速再加速
:
: 問題:
: 用數學解釋沒有問題，但學生問為何在玻璃環中還會有電場產生，
: 可否有強者鄉民可以單純用正電荷+變化磁場，
: 用勞倫茲力F=qvB來解釋 這個正電荷的運動
首先一定要先正名一下...
古典電磁學當中只要有力, 就是 Lorentz force, 沒有例外.
F = q(E + v ╳ B)
而磁場那個 Lorentz force component...
其實也有一個專有的詞, 叫做 electromotive force, emf.
你的問題其實是說, 有沒有辦法用 emf 解釋整個現象？
答案是有; 但恐怕不會讓你的解釋變得更清楚.
electromotive force 一開始發生的問題就是...
「為什麼帶電體在沒有電場的環境下會受力？」
千萬不要覺得這個問題很白痴...
如果看不出上面標的「這個計算有問題」是哪邊有問題...
就表示很可能也搞不清楚 emf 的前因後果.
那先回到上面的計算好了.
我們假設有 A 環, 遵循上面計算的結果.
那個環裡面處處都有 E-field...
而且就照 lefan 兄說的
Bo*pi*R
E = - -----------
2pi
接下來...
另外隨便找個不同的地方, 再擺個一模一樣的 B 環.
1.) 請問 B 環裡面的 E-field 長什麼樣子？
我敢打賭起碼一半的人會說: 跟 A 環一模一樣.
錯了, 跟 A 環絕對不一樣.
跟著再另一個問題: 既然不一樣, 那計算不就有問題了嗎？
可是 A/B 兩個環是一模一樣的東西, 磁場也具備空間對稱的關係.
2.) 那到底哪邊出問題？答案是邊界條件不足（這個題目本身就很有瑕疵. ）
最後再問一個問題...
3.) 既然 A 環裡有 E-field, 那麼 A 環的 electric potential 長什麼樣子？
答案呢, 是「寫不出來」.
上面只要有任何一個問題的答案, 不知道為什麼, 就表示不懂 emf.
（答錯沒關係, 我也常常敗在腦筋急轉彎; 偷看答案會明白就好. :D）
這些都在暗示 emf 其實是很怪的東西.
那再回到原本的問題.
繼續往下講之前要先知道一件事.
觀察 EM-field 有很多選擇.
某些現象中, 有些座標裡面只有單純的 E-field.
最明顯的就是靜電荷的座標.
另一些現象中有另一些座標, 裡面只有單純的 B-field.
這也不難, 譬如帶電流的導線.
但是! 不盡然所有的現象都能被分類成上面兩個狀態; 通常不行.
譬如描述光, 就鐵定找不到只有 E/B-field 的座標.
同時存在電流跟電荷的環境............出現上述狀態的機率也不高.
我們可以在不同的座標系之間推來推去, 這個沒問題.
但是能不能選出一個靜電或靜磁的狀態？很難說.
偏偏當你打算用 emf 解釋的時候.
表示一定要可以找到一個座標系, 裡面看起來是純的 B-field.
（哦對, 去掉實驗用的測試電荷... 那個電荷的電場當作沒看到. ）
講起來很抽象, 要讓玻璃環在某種靜磁場中有個運動...
而玻璃環的運動跟玻璃環靜止的狀態, 在電磁現象上等價.
找得到嗎？恐怕有點難, 你必須同時找出靜磁場的分布跟環的運動.
等於是說, 必須先想到一種磁鐵...
讓它在運動的時候, 會產生題目裡面的磁場變化.
（請不要靠脊椎反應想說用常見的磁鐵形狀湊一湊, 我保證沒那麼簡單. ）
接下來把那個怪怪的磁鐵固定.
改成讓玻璃環運動, 而且是剛剛那個磁鐵運動的相對運動.
這樣就會得到一個可以只用 emf 解釋的電磁現象.
上面這些東西就是 special relativity, 雖然一個方程式都沒寫. :D
不過呢, 整個環的等效運動很難找, 不代表就是世界末日了.
我們可以局部局部地找慣性座標.
每一點都有機會找到一個奇怪的慣性座標, 那裏頭只看得到電場或磁場.
以這個問題來說, 找得到, 因為 E/B-field 是垂直的.
可是這一堆奇怪的觀察座標沒辦法湊成一個巨觀的慣性座標.
當然你可能會覺得這樣湊很唬爛...
不過這種湊法有 Thomas precession 這個實驗的支持.
所以我們可以假設它就人類已知現象而言是對的.
講起來還是很抽象...
那我湊一個點給你看, 假設說觀察運動到三點鐘方向的電荷好了.
題目的磁場可以想像成九點往三點越來越強的磁鐵, 由三點往九點運動.
（再強調一次, 巨觀的不能這樣湊, 拜託不要跟我吵這個. ）
然後呢？狹相拿出來用, 把那個磁鐵的相對運動加到電荷身上就好了.
磁鐵不動; 電荷原本由三點往十二點轉, 再加上一個九點往三點的速度.
電荷的速度對磁場外積就會積出一個煞車用的 emf.
結束... 電荷運動的每一點都請這樣討論.
然後, 以上這些討論只適用在前面說過的 A 環.
B 環因為對稱性失效, 我不保證那個怪怪的局部磁鐵可以這樣湊.
另外這個湊出來的 emf 也不好算.
最後你會發現, 不盡然所有的東西都可以用 emf 解釋.
譬如 photon 所攜帶的動量, 就沒有 emf 的觀點, 一定要加上電場那一項.
當然說穿了還真是有點呆...
「並不是所有的 electrodynamics 都可以想像成電荷在磁場中的運動. 」
不過請注意, 雖說這個論述看起來很呆, 但它可是有辦法證明的.
當然靜電的部分有另一個靜電的版本, 那個大家比較熟.
而且從 emf 的觀點出發也不見得好算, 就像這一題.
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新詩練習：新鮮。踩破初春裡的狗大便；不經意的滄桑，滿溢著嫩黃的喜悅。
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