Re: [問題] 倒晶格

[caseypie (吟遊詩人)]

※ 引述《kid50927 (fish)》之銘言：
: 我對於導晶格的幾何意義大致了解了 (除了原點...)
: 另外 Kettel寫說一維的n(x)=n0+SUM(Cp*cos(2πpx/a)+Sp*sin(2πpx/a))
: n(x)為電子密度(electron number density)，Cp,Sp為係數
: We said that 2πp/a is a point in the reciprocal lattice or Fourier space
: of the crystal.
這不就只是單純的傅立葉級數（或有限空間的傅立葉分析）

n(x) = Σ_p n(p) exp(i 2πpx/a)  ， p為整數
     = n0 + Σ_p ( n(p) exp(i 2πpx/a) +  n(-p) exp(-i 2πpx/a) ) , p為正整數
     = n0 + Σ_p ( (n(p)+n(-p)) Cos(2πpx/a) + i(n(p)-n(-p)) Sin(2πpx/a)
     = n0 + Σ_p ( Cp Cos(2πpx/a) + Sp Sin(2πpx/a) )

Cp = n(p)+n(-p) ， Sp = i(n(p)-n(-p))

一般的晶體滿足real despersion relation，所以 n(p)* = n(-p)，所以：

Cp = 2Re[n(p)]  ， Sp = -2Im[n(p)]

那要做傅立葉分析的週期單位2π/a怎麼訂的？
當然是看原有x座標空間內的最小週期，也就是晶格長度a
找尋週期單位k令ka = 2nπ，是為週期條件
於是k = 2nπ/a，n為任意整數，
所有的n就建構出一個動量空間中的晶格，是為倒晶格


: n(x)                       n(p)
: ↑                          ↑
: │                          │
: │                   →     │
: │┌┐  ┌┐                │
: │││  ││                │      point
: │││  ││                │    ↙
: └──────→x           └─┼─┼─┼─→p
: 0   ←a →                  0   2π 4π 6π
:                                 ─  ─  ─
:                                  a   a   a
: 這樣是否表示倒晶格向量即是動量呢?
: 那這樣是說動量大小與實晶格的兩平面間距有關?
: 而這裡說的動量是電子的動量? 否則為什麼要看n(電子密度)?
我想你把兩件事混在一起了
倒晶格向量是指標，標明動量空間中的晶格長什麼樣子
也就是動量晶格中標明晶格週期的參數

更重要的，它是實空間中「最短」的週期，反過來就是動量空間中「最長」的週期
當我們討論電子動量表現的時候，我們必須討論到這個「最長週期」
至於含有更大動量的電子，就毋需理會，因為那會進入下一個週期

所以倒晶格向量是週期晶格中所需關注的「最大」動量
倒晶格的區間（Brillouin zone，BZ）是一個單位週期的動量空間
而電子可以存在於這個動量空間中的任一點，亦即擁有小於倒晶格向量的任意動量
（事實上因為通常的習慣是要求對稱性，所以BZ是定義為正負半個倒晶格向）

不過電子所能擁有的動量也不是連續的
因為整塊晶體在實空間中有個「最長」週期，那就是整塊晶體的大小L
反過來就是動量空間中的「最短」週期2π/L
晶格中電子的動量永遠是2nπ/L，n為整數
只是L通常遠大於a，反過來就是2π/L遠小於2π/a
因此在倒晶格區間內通常把電子的動量當成連續分佈

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◆ From: 128.146.35.142
推 kid50927:我確實搞混了，感謝解說
推 sputtering:其實是有不同
→ sputtering:reciprocal lattice是X-ray diffration pattern所表現
→ sputtering:現出來的空間,換句話說,只要你有pattern就可以倒推回去
→ sputtering:整個晶體的結構
→ sputtering:至於寫成momentum space是因為要寫出energy band 圖
→ sputtering:其實momentum space 就是我們在solid state講的k-space