→ caseypie:以前的數學家沒事就在幹這個 03/31 21:38
→ caseypie:不然你以為特殊函數表和積分表怎麼弄出來的 03/31 21:38
推 WINDHEAD:用級數展開來看就好了 =.= 04/01 03:25
推 Honor1984:其實只要做一道基本的變數變換就可以得到 不需間接移項 04/01 08:32
→ Honor1984:來移去 那是知道結果才硬推的作弊方法 04/01 08:33
不好意思，小弟關注這個問題也一陣子了
算了好久也是卡住，總覺得最後用mathematica算好像偷吃步了點
想請問有人知道當初是怎麼看出(?) 這個關係式的嗎??
總不可能是憑空想像到的吧? 有物理意義在裡面嗎~~
簡單來講就是想請問有大大知道一些典故由來嗎
謝謝~
※ 引述《caseypie (吟遊詩人)》之銘言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 大家好，最近在計算計算統計力學的相變問題，
: : 課本推導中有用到很奇妙的橢圓積分elliptic integral
: : 但是算到一半就卡住了，不知道其中一條關係式怎麼得到的，
: : 我的問題整理如下
: : K(k)是complete elliptic integral of the first kind, 定義如下
: : π/2 dθ
: : K(x) = ∫ ------------------------- 0 ≦ x^2 < 1
: : 0 √[1- (x^2)*(sinθ)^2]
: : E(x)是complete elliptic integral of the second kind, 定義如下
: : π/2
: : E(x) = ∫√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ 0 ≦ x^2 < 1
: : 0
: : 試證
: : 1
: : dK/dx = -----------[E(x) - (1-x^2)K(x)]
: : (1-x^2)x
: 改寫：
: 欲證
: (1-x^2)x(dK/dx) = E(x) - (1-x^2)K(x)
: => (1-x^2)(d(xK)/dx) = E(x)
: => d(xK)/dx - E(x) = (x^2)(d(xK)/dx)
: d(xK)/dx = K + ∫(x^2)*(sinθ)^2/[1- (x^2)*(sinθ)^2]^(3/2) dθ
: E = ∫[1- (x^2)*(sinθ)^2]/√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ
: = K - ∫ (x^2)*(sinθ)^2/√[1- (x^2)*(sinθ)^2] dθ
: d(xK)/dx - E = 一大串積分
: 嘗試湊出 (x^2)(d(xK)/dx)
: 得到
: d(xK)/dx - E = (x^2)(d(xK)/dx) - (x^2)I(x)
: (x^2)(sinθ)^4 - 2(sinθ)^2 + 1
: I(x) = ∫ ---------------------------------- dθ
: [1- (x^2)*(sinθ)^2]^(3/2)
: sin(2θ)
: = ------------------------------- （我用mathematica = =）
: √(4-2x^2 +2(x^2)cos(2θ) )
: = 0
: 得證
: d(xK)/dx - E = (x^2)(d(xK)/dx)
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