作者condensed (我的冒險生活)
看板Physics
標題Re: [請益] 非相對論性時空的度規?
時間Sat Apr 14 14:13:48 2012
不知道這問題你解決了沒，
最近看了Arnold的書，又重新思考了這個問題。
現在就我的理解，回你一下：
這裡有些基本概念要先釐清，
牛頓的絕對時空，就是指加利略時空。
所以你定出來的度規，必須滿足加利略變換下，
仍保持兩事件的長度不變。
這樣子的條件下，除了diag=(1,0,0,0)我想不到其他方案。
然後我們再看看，下面你舉的例子：
※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: 小弟之前也有類似的問題
: 不過當初是因為梁燦彬老師的書上說牛頓絕對時空沒有四維度規
: (絕對時空的度規必為退化)
: 但是下面提到的度規的確能滿足牛頓引力方程
: 所以小弟才感到疑惑
: 而且當初愛因斯坦會相對論化牛頓力學
: 也是因為牛頓引力方程不能寫成協變形式
: 但是下面的推導好像可以啊？
: 這部分小弟還是很疑惑 = =
: ※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: : http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations
: : 請看 The correspondence principle 那節的推導
: : 我有個疑問是：
: : 4
: : 若存在能動張量 T = diag(ρc ,0,0,0)
: : μν
: : 2
: : 則 g = diag(-c - 2Φ,1,1,1)
: : μν
: : 是滿足愛因斯坦方程式的一個解
: : 其中
: : Φ = 4πGρ
: : ,ii
: : 證明：
: : 2
: : 因 g = diag(-c - 2Φ,1,1,1)
: : μν
: : 所以 i
: : Γ = Φ , 其他均為零
: : 00 ,i
: : j
: : R = Φ , 其他均為零
: : 0i0 ,ij
: : R = Φ , 其他均為零
: : 00 ,ii
: : 8πG
: : 愛因斯坦方程式 R = ------(T - T g ) , 其他均為零
: : 00 c^4 00 00
: : 上式剛好等於牛頓引力方程式
: : 上面推導沒有用到任何近似
我看到網頁上的推導，有做近似啊。
: : 所以 2
: : g = diag(-c - 2Φ,1,1,1)
: : μν
: : 是愛因斯坦方程式的一個正確解 (exact solution)
: : 假如把上面的度規稱為牛頓度規
: : 那牛頓的絕對時空其實是包含在廣義相對論裡面的一個解
: : 因為梨曼張量不完全為零
: : 所以它是一個彎曲的時空
: : 但它的三維子空間仍然是平坦空間：gij = diag(1,1,1)
這裡的邏輯應該是這樣子：
上面的牛頓方程以及度規，都是在廣義相對論在弱場與低速下，
做出來的近似。
所以，這樣子的彎曲時空上任一點的切空間，
遵循的度規，仍然是Minkowski的(-1,1,1,1)。
所以他仍然不是牛頓的絕對時空。
因為牛頓的絕對時空，遵循的座標變換必須是加利略的。
你所寫下的metric，在座標變換時，(或者說經過一個boost)
仍然遵循Lorentz變換。
如果硬要去遵循加利略變換，除了(1,0,0,0)大概別無其他。
: : 所謂的古典近似只在狹義相對論下勞倫茲變換低速近似於伽利略變換
: : 這樣子的理解對嗎？
: : 謝謝
剛不小心刪到一行，簡單說：
牛頓方程即便是愛因斯坦場方程的一個解，
時空背景也仍是局域Lorentz不變的度規空間。
而一般我們說的牛頓絕對時空，意思是遵循加利略變換。
在這種變換下，等時面是絕對的，不能因座標變換而改變。
也就是說同時的兩事件，變換了座標仍必須同時。
滿足這樣子的變換下的度規，顯然不存在。(除了 (1,0,0,0))
另外我想補充一點，是我看梁書的感覺：
他提到牛頓絕對時空存在退化的度規(0,1,1,1)，這樣的說法有點問題。
因為這種度規只有存在於同一個等時面中的旋轉或平移是不變的，
那就只是R^3的度規，不能寫成A^4裡的。
如果兩事件不同時，經過加利略變換，度規就改變了。
也就是說，這根本就不是度規。
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◆ From: 115.81.165.241
推 chendaolong:"牛頓度規"這名詞可能會有誤會，一般說的的確是 04/14 20:24
→ chendaolong:(1,0,0,0)，但小弟這邊說的是diag(-c - 2Φ,1,1,1) 04/14 20:26
→ chendaolong:這樣假設的一個度規，可以直接滿足愛因斯坦方程，就跟 04/14 20:26
→ chendaolong:史瓦西度規一樣 04/14 20:26
推 chendaolong:嗯？我有沒有搞混？(1,0,0,0)還是(0,1,1,1)?? 04/14 20:28
→ chendaolong:反正就是給定能動張量diag(ρc^4,0,0,0)，則相對應的 04/14 20:30
→ chendaolong:度規必為diag(-c^2-2Φ,1,1,1)，這中間不需任何近似 04/14 20:31
推 chendaolong:還是這是其中一個特解？ 04/14 20:58
推 yw1002:看不懂你們在說三小...有那麼複雜ㄇ@_@ 04/15 00:14
推 ipporock:可以說明一下為什麼牛頓的度規不是(0.1.1.1)嗎?有點不懂 04/15 00:33
推 yw1002:愛因斯坦的方程式也可以從David Hilbert那篇文章來理解 04/15 00:42
→ yw1002:p511 Mie文章 04/15 01:20
→ yw1002:p1 04/15 01:43
推 ic6413:..... 04/15 02:43