[問題] 給電場求電荷分佈

[realtemper (精彩不亮麗)]

原問題是這樣的；

    一半徑為R的圓環上帶有不可移動的電荷分佈λ(θ)。若某一直徑AB上的
    電場處處為0，求λ(θ)。

用對稱性的觀點是不難看出 λ(θ) = Asinθ, A為常數
（想像把一個均勻帶電的薄球殼，過直徑AB從中間剖成兩半，
  再以某直徑AB為中心軸，像收扇子一樣往兩側收上去）

但是如果從庫侖定律出發
考慮AB直徑上距圓心為r的點，並計算角度θ~θ+dθ內的電荷dq產生的電場

   →   kq  →           kdq
∵ E = ── d  ,   dE = ── (r-Rcosθ)
        d^3          x   d^3

               π  kRλ(θ)(r-Rcosθ)
∴總電場 E = 2∫ ─────────── dθ ≡ 0,  all 0≦r＜R
          x    0    2  2           3/2
                  (R +r -2Rr*cosθ)
             ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

（用直徑AB上的電位=const.也可以，形式較簡單，但懶得打了）

   總之，現在的問題就是：
   已知一個 functional 的結果與它的 kernel K(r,θ)，求原函數λ(θ)？

       π
      ∫ K(r,θ)λ(θ)dθ = I(r) ≡ 0,  all 0≦r＜R
       0   ↑
          已知

      求λ(θ) = ?

上 wiki 是有查到 Fredholm theory，
但我看不懂它提示的解法（似乎是要算 eigenfunction 之類的？但怎麼算？）
也沒有例題可供參考
故上來求諸位大俠指點....謝謝！

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◆ From: 114.27.21.218
※ 編輯: realtemper      來自: 114.27.21.218        (08/20 01:17)
推 TDOJ:應該是λ(θ) = A|sinθ|
→ realtemper:恩對 感謝 但因為我只積半圈 所以沒加~
推 TDOJ:我覺得這問題應該不能用Fredholm 因為即使你從kernel看出了
→ TDOJ:operator 但因線上電場要求是0 operator作用上去也會變成0
→ TDOJ:最後就會求出λ(θ) =0 的答案
→ TDOJ:而且這個kernel還長得滿噁心的