Re: [問題] 量力算子H一定是要Hermitian嗎?

[granas (granas)]

H 是Hermitian 是用來保證unitarity  也就是粒子守恆

如果你試圖用field quantization之前的QM來做會改變particle number的事

e.g. decay

你就需要在H裡加虛部了

(我記的Shankar裡好像有例題   吧?)

P.S.

我懶的推文了XD

常見的H常把兩個意義混在一起:

1. 用來寫time independent schrodinger的解

   如果是從Lagrangian formulation出發  通常是經過Dirac "quantization" 得到

   (當然後來有許多其他的辦法來應付更複雜的狀況)

   在這個意義下  propagator是unitary的條件是H為Hermitian

   物理意義為粒子數守衡(或是機率合為一  如果你比較喜歡這樣叫)

   (e.g., 在H independent of t之下, U=exp(-iHt) => as you know)

2. "如果"一個theory有time translational symmetry

   則有其對應到的conserved charge, 一般我們叫它能量

   如果再叫的不清不楚一點  就叫Hamiltonian

   不過因為這個conserved charge會自然對應到symmetry tranformation's generator

   大部份的情況就會跟之前狀況一的一樣

   (這個我不這麼確定有沒有例外)

   因為symmetry tranformation必須把orthogonal complete basis
   映到orthogonal complete basis  所以generator也是Hamiltonian

   (因為其transformation  也需為unitary)


在theory沒有time independent的情況下  通常第二個說法沒有絕對的意義

如果你的粒子又不會守衡  那就不用是hermitian了




至於三樓的例子  有人願意告訴我嗎?XD

(如果是perturbatively non-unitary  就不用告訴我了XD)



※ 引述《iohan (iohan)》之銘言：
: H * fun = E * fun
: 我們希望得出來的能量 E 是實數
: 所以會使 H 為 Hermitian matrix 來保證 E 的實數性
: 但如今遇到一些非物理性的條件
: 像是使用數值方法分析而人為的改動 H
: 以至於 H 不再是 Hermitian
: 雖然解出來的數值都同樣是實數
: 這樣還可以被稱為薛丁格方程嗎?
: 其解出來的解可以被信任??
: 薛丁格方程中的哈米吞算子之所以會是 Hermitian
: 真的只是因為要保證能量為實數的關係嗎?
: 還是具有其他的物理意義??

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◆ From: 140.112.4.183
推 herstein:Hermitian用來保證unitary是甚麼意思?
→ herstein:Hermitian應該是用來確保"spectrum是real"
噓 PTT0207445:我隨便都可寫出一個粒子數不守恆但hermitian的H
→ granas:樓上願意寫一個給我看嗎?XD
※ 編輯: granas          來自: 220.135.2.69         (09/21 00:30)
→ yyc2008:granas只是想表達單粒子波函數隨時演化保持總機率守恆
→ fuqule:數學上Hermitian和Unitary是完全不同的條件吧...
→ recorriendo:應該說H是hermitian確保 time evolution operator是
→ recorriendo:unitary = =
推 yyc2008:不就是那樣嗎?
推 leo80042:怪了，unitary在物理上有多重意義又不是第一天知道，需要
→ leo80042:戰用詞不當嗎？
噓 Keelungman:Hermitian 不一定是 unitary
推 WINDHEAD:我想他的意思是説unitary群的李代數是skew-hermitian
推 yyc2008:他的意思是 H是Hermitian => Unitary operator exp(-iHt)
→ yyc2008:但是前提是H非時間顯函數
推 DDMO:Hermitian matrix的eigenvectors彼此正交並能組成unitary矩陣
噓 PTT0207445:請我一杯飲料就寫給你看