[題目] 高中物理 衛星的最大高度

[happyennovy (讓我去流浪)]

[領域] 萬有引力                            (題目相關領域)

[來源] 考古題                           (課本習題、考古題、參考書...)

[題目]  一衛星在地表以(4/3)sqrt(gR)的速度延地表水平發射
        其中g是地表的重力加速度, R是地球半徑
        請問此衛星可達距地表的最大高度是多少?

[瓶頸]                             (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
        是題很簡單的題目, 不過不知道為什麼怎麼算都跟解答不一樣
        人又在國外沒有高中的參考書可翻

        我的想法是在飛行過程中忽略空氣摩擦, 因此要遵守能量守恆
        0.5*m*v^2-GMm/r=0.5*m*vo^2-GMm/R
        其中v是在最大高度的速度, r是可達之最大高度, 位能=0在無限遠處
        又在最大高度時, 向心力= 萬有引力
        m*v^2/r=GMm/r^2

        兩式聯立可以得 v和r
        我求得的v=sqrt(2)GM/3R
                r=4.5R, 距地表最大高度= 3.5R
        但是答案給7R, 請問我有地方沒有注意到嗎?  謝謝!

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◆ From: 174.102.97.219
→ ren1072:誰跟你說最高點的曲率半徑就是最高點的值?
推 mgtsai:這一題是陷阱題，因為沒有規定衛星軌道是圓形
推 mgtsai:最極端的狀況就是以短軸趨近於零的極扁橢圓軌道運行
→ ren1072:等面積和能量守恆就可以弄出來了
推 mgtsai:最大高度會在衛星動能趨近於零處
→ ren1072:樓上你那個會變成拋物線...
推 mgtsai:地表初速只有 4/3 √(gR) 尚未達到第二宇宙速度
→ mgtsai:(第二宇宙速度為 √(2gR) )
→ ren1072:你應該是想說動能發生極小值吧?
→ mgtsai:衛星在地表以這個初速向外發射，經過適當的軌道修正
→ mgtsai:即會形成繞地的橢圓軌道
→ mgtsai:會形成拋物線軌道是初速剛好等於第二宇宙速度時
→ mgtsai:若高於第二宇宙速度，軌道就成為雙曲線
→ mgtsai:若高於第二宇宙速度，軌道就成為雙曲線
→ ren1072:所以在"橢圓"軌道的遠地點動能可以等於0嗎?
→ mgtsai:當短軸非常短時，其動能可以忽略啊
→ mgtsai:比如長軸與短軸比為 10000:1 或 1000000:1 時
→ ren1072:那樣你的長軸不就變無限長了? 那樣還是橢圓嗎?
推 mgtsai:長短軸 1000000:1 的橢圓還是橢圓啊
→ mgtsai:即使看起來很像一直線，但畢竟還是橢圓
→ mgtsai:長短軸比 1000000:1 的橢圓，在計算上，遠地點的動能可忽略
→ ren1072:當你的比值還是非無限的時候就不能說動能可以忽略
→ mgtsai:當長短軸比愈大時，遠地點動能就愈接近零
→ ren1072:動能必須還是要在的，否則角動量守恆就完了
→ mgtsai:但你想抓遠地點動能到小數點以下幾位，長短軸比就拉多大
→ mgtsai:還是會遵循角動量守衡啊，只是長短軸比非常大時
→ mgtsai:角動量也會變得非常非常小
→ mgtsai:因為除了在遠地點與近地點附近，其它地方的衛星前進方向
→ mgtsai:與衛星與地心的相對位置(向量)幾乎是平行的
→ mgtsai:在計算角動量時，兩個非當接近平行的向量，外積值會非常小
推 ren1072:真是極端...