Re: [問題] 關於自然對數 e

[caseypie (吟遊詩人)]

※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言：
: 大家好
: 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e
: 有稍微查過，不過看到的解答只說因為e是自然界中很常看到的數字
: 我想請問的是 是哪邊常看到?
: 而且為啥是一個奇怪的數字2.72而不是5.3之類的其他數字
: 本來想po在數學板的 可是感覺物裡板會有比較物理的解釋
: 所以上來請教
: 謝謝!
自然界要看到e是有條件的，
教科書或paper應該都會先說明所提及的自然現象，
然後才會說這個現象可以用自然對數描述
因此個人的意見是你或許可以仔細了解一下教科書或paper計算用到自然對數之前的篇章
看一下作者正在討論什麼現象，建立了什麼模型

很多自然現象能用以下方程式描述：

dy/dx = ay，a為常數，y=y(x)

這代表欲討論對象y隨變數x的變化量和自身成正比
是很「直覺簡單」的假設，也「剛好」在許多情況下成立


接著，解方程式，移項得到∫dy/y = a∫dx

右手邊就算了，左手邊怎麼辦？



想法：定義∫dy/y = ln y
ln y 是以「某個數字」為底取y的對數，先寫為e
由於微分是積分的反運算，根據這個定義同樣可以得到：d ln y/dy = 1/y
令y = e^x，則可導出d e^x/dx = e^x
無論如何，上述微分方程式據此可得解：y = e^(ax)



那這個e的確切數字為何？

理所當然，ln e = 1，所以目的就是要湊出這樣一個東西

靈光一現，考慮(1+t)^(1/t)在t->0時的收斂值（同樣靈光一閃假設確實收斂）：

ln e = ln[(1+t)^(1/t)] = (1/t)ln(1+t) = (1/t)(t -t^2/2 + ....)    (泰勒展開)

在t->0時有 ln[(1+t)^(1/t)] = 1-t/2 + .... -> 1

於是我們知道e = (1+t)^(1/t)在t->0時的收斂值
用泰勒展開算一算就得到2.71828....這個值

至於為啥能確信這個東西在t->0時收斂（好像是Euler正式證明的）
我數學很差，不要問我

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◆ From: 71.79.234.205
推 YmemY:後面引用級數的觀點 邏輯上好想有點不太通耶..?
→ caseypie:哪裡不太通？
推 WINDHEAD:我覺得那個積分之所以會是某個對數函數,這點很妙
→ WINDHEAD:可說是學習微積分遇到的第一個驚奇呀
→ caseypie:那個地方確實也是靈光一閃，誰知道要設成對數啊
→ caseypie:話說一樓到底要不要交代一下覺得哪裡不太通