Re: [問題] 關於自然對數 e

[WINDHEAD (Grothendieck吹頭)]

想法：定義∫dy/y = ln y
ln y 是以「某個數字」為底取y的對數，先寫為e
由於微分是積分的反運算，根據這個定義同樣可以得到：d ln y/dy = 1/y
令y = e^x，則可導出d e^x/dx = e^x
無論如何，上述微分方程式據此可得解：y = e^(ax)

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◆ From: 71.79.234.205
推 YmemY:後面引用級數的觀點 邏輯上好想有點不太通耶..?
→ caseypie:哪裡不太通？
推 WINDHEAD:我覺得那個積分之所以會是某個對數函數,這點很妙
→ WINDHEAD:可說是學習微積分遇到的第一個驚奇呀
→ caseypie:那個地方確實也是靈光一閃，誰知道要設成對數啊
這個是有根據的XD 不過感覺應該po在數學版才對?

             x
首先令 f(x)=∫ dt/t
             1

 來看 dt/t 這東西，他很奇妙，對他做變數變換 t<->at (乘常數換單位)

 會得到 d(at)/d(at) = dt/t  又回到自己

 但在此同時積分區間卻從 [1,x] 變成 [a,ax]

 這是一種平移不變性，但卻是對"乘法"做平移

 所以我們可以把大區間用"乘法"拆成小區間

              xy
       f(xy)=∫ dt/t
              1
              x         xy        x         y
            =∫ dt/t + ∫ dt/t = ∫ dt/t + ∫ dt/t
              1         x         1         1

                               =  f(x) + f(y)


  f 把乘法變成加法，這不就是對數嘛 XD

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◆ From: 108.240.250.167
→ caseypie:喔～
推 Qmmmmnn:@@"
推 Lindemann:推一下XD f(xy)=f(x) + f(y)
推 yeahbo:推~
推 waddler:簡單明瞭
推 XinYuan:解釋的很好~~
推 ntust661:推^^
推 Frobenius:Good Job!
推 oNeChanPhile:水