Re: [請益] Quantum Hall Effect and Topology

[aesth (應該很帥吧)]

小弟沒有很懂，有很多細節也都忘了，但加減回答一下
可能沒回答到根本的核心，可以再討論

※ 引述《ijsfkira (ijsfkira)》之銘言：
: 但有幾個問題我不太理解...
: 1.Chern number必須是整數 所以這套方法似乎不能用在FQHE裡?
: 那對於FQHE 有沒有類似的推廣用以解釋分數的由來?
: 2.我也讀過關於分數量子效應的有效場論 但大概僅只知道這可以解釋一堆現象而已
: 頂多知道它在某些情況怎麼被微觀導出(Yoshioka那本書的程度)
: 所以我一直好奇─雖然這可能是個笨問題...(畢竟我也不是很懂)─
: Chern-Simons term出現在物理裡頭 最大的物理因素究竟是甚麼啊?
: 我的意思是 好比說 我知道像U(1)gauge invariance要求我跑出一項電磁作用
: 那麼是不是有甚麼原則藏在Chern Simons term裡?


當many-body wavefunction做unitary transformation後，fermionic WF變成bosonic WF
Ψ(x1,x2,..,xN) = Uψ(x1,x2,...,xN), U = exp{ -i(θ/π)Σα_{ij} }
   Ψ(x2,x1,..,xN) = -Ψ(x1,x2,..,xN), ψ(x2,x1,...,xN) = ψ(x1,x2,...,xN)
其中θ=π(2n+1)，fractional charge的主因

H → H = 1/2m Σ[p_i - e*A(x_i) - e*a(x_i)] + V
A: EM gauge field,
a = (Φ_0/2π)*(θ/π)Σ grad_j[α_{ij}] : new gaue field
quantum flux Φ_0=h/e == 2π
詳情見書

      αβ
a滿足ε   ∂  a  (x) = (Φ_0)*(θ/π)*ρ(x), ρ(x) : charge density
           α  β

注意每個粒子上附著 a-flux，因此當一粒子(boson)繞另一個粒子時
除了得到AB phase, Φ=B*A，還包含a-flux造成的phase (fractional statistics)

平均場的解為ρ(x)=ρ_0, average density, 以及 A+a=0
也滿足filling factor, ν=Ne/(Φ/Φ_0) = 1/(2n+1)

考慮fluctuation，A+a=δa, δρ可由以下得到

  αβ
ε    ∂  δa  (x) = (Φ_0)*(θ/π)*δρ(x)
       α    β
帶入second quatization Schordinger equation + ...
就可以得到Chern-Simons Langrangian
with Cherm-Simons term

  μνλ
ε      a   ∂  a
         μ  ν  λ

or written as the nonlocal Hopf term

    μνλ
 ε       j  (∂^-2) ∂  j
           μ         ν  λ


我想主要是因為是2+1 dim，particle conservation ∂j=0
正好讓2+1 particle density (current)用 ∂a 表示 (也隱含fractional charge)
而 j=-grad A 成立時，表示有超流(這裡要做個轉換)，也會出現在QHE


: ? 可是我記得TKNN的argument有一項很重要的前提是:基態是非簡併的
: 對於有些像是Non-Abelian的case 基態不是得要簡併嗎?
: 我也不是很理解"積分沒積完整"詳細是甚麼情形@@
: 它不是先積完整個BZ 才對填滿的band加總嗎? 不填滿的band到底會有甚麼情況?

這裡跟Non-Abelian沒什麼關係
Integral filling, GS WF就只有一種，是把LLL填滿，所以degeneracy=1
fractional filling很明顯，GS簡併度不等於一(多少電子分配flux的可能)


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◆ From: 140.114.94.141
→ caseypie:那如果定θ=2nπ會怎樣？
→ aesth:theta是偶數，費米子還是轉成費米子
→ caseypie:可是這樣CS term還是會存在，
→ caseypie:看起來CS term和boson的出現沒有必然關係？
→ aesth:還是有CS，應該是2+1-dim的特性。但這樣沒有改變任何事
→ caseypie:我的意思是看來CS的意義似乎不是在這一點上
→ caseypie:事實FQHE的早期圖像裡，是定θ=2nπ
→ caseypie:解釋為一個粒子附帶數個vortex，也就是Laughlin圖像
→ aesth:我聽不懂你說的，如果θ=2nπ那跟nu=1/3就沒關係了
→ aesth:因為charge density=a-flux/(2n+1)
→ caseypie:當然有關係，差別在你怎麼詮釋而已
→ caseypie:如果θ=2nπ，那粒子就還是fermion，轉一圈要再加上π
→ caseypie:所以總和還是2n+1
→ caseypie:一開始這個附帶的θ是被當成「附著」在粒子上的vortex
→ caseypie:每當有一顆粒子就有兩個洞（vortex）
→ caseypie:可以想成總共有2n+1個「洞」可以填例子，你只填了一個
→ caseypie:所以filling factor = 1/(2n+1)
→ caseypie:這就是Laughlin推出1/3FQHE波函數的思路
→ aesth:我想你在說composite fermion: 1fermion+2 flux quanta
→ aesth:所以1fermion+B flux => 1composite fermion+1 flux quanta
→ aesth:我聽太懂你說2vortices等的，你給個文獻我再看看
→ aesth:Laughlin那時候應該寫下WF也沒有vortex的概念
→ aesth:你可以去看XGWen的書，他有解釋為什麼Laughlin WF描述
→ aesth:nu=1/3，他是angular momentum最小的WF等
→ aesth:不過這跟一開始要討論的CS有點扯遠了
→ aesth:CS gauge因為有與粒子數相關的constraint，所以他不算自由的
→ aesth:的gauge field，一般人稱他auxiliary field
→ aesth:如我之前說的他會出現跟2+1 dim有關
→ caseypie:我覺得CS必定跟2+1dim有關也是很直觀的事情
→ caseypie:因為CS的目的就是要把庫倫作用力吃進去
→ caseypie:而2+1D的庫倫場剛好是個log，才會正好和相位對應
→ caseypie:θ=2nπ的詮釋就是composite fermion
→ caseypie:用2n+1改成composite boson是後來的事情
→ caseypie:說實話，我看Wen寫的東西總有種他在自說自話的感覺
→ caseypie:vortex就是繞一圈之後相角變2π的節點
→ caseypie:轉幾個2nπ就是幾次方的節點
→ caseypie:體現在波函數上就是(z_i-z_j)^(2n)，
→ caseypie:你可能只是不喜歡vortex這個稱呼而已
推 ijsfkira:謝謝您 關於原文的推導 其實我大概都知道...我比較想問
→ ijsfkira:的本來是CS term出現背後更簡明的理由 不過caseypie學長
→ ijsfkira:上面說的好像有點意思...
→ ijsfkira:然後 我現在還是覺得integral QHE(LLL被填滿)總基態是非
→ ijsfkira:簡併的@@ 學長之前提到電子間的置換...那不是只差phase嗎