Re: [請益] 關於Pauli matrices

[pipidog (如果狗狗飛上天)]

※ 引述《njvulfu (njvulfu)》之銘言：
: 各位大大好，
: 小弟初學量力，
: 對於Pauli matrices σ有一些不解之處，
: 所以，想請問：
:      det(σ)=-1    &     Tr(σ)=0 ，
:      以上這兩個特性有無任何物理意義？
不懂高深的數學,只從凝態物裡上學到的觀點來回答.

*Trace=0:
Tr(s)=0 表示這個算符是一個多極矩,裡面只帶有磁矩而不帶有電荷.
就是說,你用Pauli matrix疊加表示一個密度矩陣,不管你怎麼翻它,轉
它,甚至隨意的改變它們之間的比例,你永遠只會改變這個系統的磁矩
而不改變總帶電量.這個性質跟Pauli matrix是不是描述自旋無關.就算
只是一個單純的二階系統,你一樣可以用pauli matrix展開二階系統的
密度矩陣. 這時它們一樣會有這個性質.(當然,這時候你談的就是
二階系統的pseudo-spin,而非真的spin了)那麼什麼才是控制帶電量的
算符?

答: 單位矩陣! 此時Tr(I)~=0!
為什麼? 因為電荷是純量,在轉動下不變. 這正是單位矩陣才有的特性!

上面這個邏輯對多極矩都是正確的,不管偶極(pauli matrix),是四極,八極
...它們的trace永遠都是0. 這是它們只帶磁矩,不帶電荷的展現.

*det=-1
這裡談是不是-1沒什麼意思,因為你對pauli matrix多取一個係數在前面,
它門的commutation relation仍不變,仍是SU(2),但是det的值卻變了.所以
它是多少沒什麼意思,重點是它們=0還是~=0. 如果=0,表示它們是定義在
"s=整數"空間裡,如果~=0,表示"s=半整數".也因此,有時候它們剛好可以拿
來區別費米子跟波色子.

為什麼s=半整數就有det~=0,=而s=整數就會有det=0呢?
就把Jz提出來看就好了. 如果Jz是半整數的,那麼它的對角線會從-m~+m,而
且中間沒有經過0.很自然的,當你取det的時候,肯定~=0.在這個空間裡面的
每一個本徵態它的時間反演對稱,都剛好會是另一個線性獨立的非簡併本徵
態.但是如果s=整數呢,這時候Jz的對角線會是-m..0..+m,那麼你取det當然
只能是0了.這時候,對於0這個態,它的時間反演對稱給不了你另一個線性獨
立的非簡併本徵態.

也就是說,s=整數跟s=半整數有了本值上的區別.s=整數的時後,存在一個本徵
態,它的時間反演對稱給不了你新東西.但是s=半整數的時候,每一個本徵態的
時間反演對稱都可以給你一個新東西.而兩者間最重要的差異,當然就在於Jz
上面有沒有0這個對角矩陣元,而有沒有0的對角矩陣元,不正是透過det來區別嗎?

上面都是在凝態物裡裡面常看見的應用.數學很簡單,比較多的都是圖像.
不曉得有沒有多一點感覺?

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★人生中最溫暖的夏天是在紐約的冬天★

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※ 編輯: pipidog         來自: 128.120.178.195      (12/11 04:09)
推 xgcj:蠻有趣的
→ caseypie:為什麼有零時間反演對稱就不會有新東西？
→ pipidog:你誤會了,我的意思是,在2S+1的那個hilbert space裡面,有一
→ pipidog:個子空間:|0>,這個子空間對時間反演對稱來說,是簡併的.
→ pipidog:不對,應該說,|0>就是時間反演對稱的本徵態
→ caseypie:唔，那這件事為什麼很重要？
→ yyc2008:sigma磁矩 和 I代表電荷 可不可以直接用數學式寫出來 我相
→ yyc2008:信寫出來 就一目了然 否則聽了感覺很玄 好像看科普一樣
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