[問題] a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt)

[alfadick (悟道修行者)]

運動學中：

定義x'(t)=v(t),  v'(t)=a(t)


有不少人說：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是對的，

還藉此推導了一些公式來解題目，

我懷疑這是錯的。來這邊問問大家。

對照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax,


df(g(x))     df(y) |                dg(x)
--------- = ------ |            *  -------
dx           dy    |  y=g(x)         dx


(註：stewart, larson, varberg 等傢伙的微積分書的 chain rule 都沒有 |
                                                                   |y=g(x)

的寫法，而都是直接寫 df(g(x))/dx = (dy/du)  * (du/dx)，

對不起，我必須說他們全都寫錯了 :)。

如果你是老師，記得講課時幫學生更正一下。

)

話拉回來，

chain rule 要能成立，可是有前提的。

對整個被微分對象而言，

1. 他必須是兩個函數所合成的合成函數f(g(x))，

等號右側可寫成二項相乘：


   一項是    ── 外面的函數f以y表示時(即f(y))，對y微分的結果

                  或者說：f(y)對y微分，得到的導函數再將y=g(x)代入

                  或者說：說 f(g(x)) 對 g(x) 微分

            注意，不能說f(x)對g(x)微分，那差太遠了

  另一項是   ── 裡面的函數g(x)對x微分。



總之，這要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt)


(以下我先假設他是對的，用反諷的手法推論下去，得到不對或矛盾的結果，

而知假設錯誤，得到  a= (dv/dx) * (dx/dt) 為錯 )


根據上面 chain rule 樣貌，a 應等於   dv(x(t))
                                    ----------
                                        dt

這樣就是說， v(x(t)) 微分恆為 a(t) 囉！？

又同樣邏輯， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt，

兩個函數的導函數一樣，不知道有沒有兩個函數必相等的 theorem，

如果有， v(t) 就是  v(x(t)) 了！也太不可思議。


網路上不少人以之為對（他們給不出證明），我有點保留。

請大家來討論看看。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.8.27
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 19:44)
推 kennyli:你說的v(x(t))，我覺得時間夠短就可以，因為v=v(t),x=x(t)
→ alfadick:k大，剛有點打錯，有改一下字
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 19:45)
→ kennyli:反函數定理告訴我們，只要x'(t)不為0，就存在小區間t=g(x)
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 19:55)
→ alfadick:完全不懂，煩請kenny大詳加解釋，thanks
→ ren1072:我覺得沒差，反正不是偏微分而是全微分
推 ntust661:不懂問題點@@

見新增的()處
→ alfadick:不懂為何不懂，我已經盡力寫得很清楚了
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 21:11)
→ harveyhs:因為點在於x(t)跟t(x)是不是可以互解，這件事情的條件由
→ harveyhs:反函數定理給出。
我好像沒學過這個耶，這是高等微積分的東西嗎？
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 22:01)
→ alfadick:那閣下的意思是那式子是對的囉？那我的推論那個地方
→ alfadick:開始有了錯誤？
→ harveyhs:反函數定理微積分有，我覺得只是選用符號的問題。
→ ren1072:v=f(x)的例子: 一物體初速0受加速a往x方向，v=(2ax)^0.5
→ ren1072:思考別僵化了...
→ harveyhs:有些數學老師在處理合成函數f(x(t))
→ harveyhs:會引入新符號f(x(t))=g(t)因為他們覺得畢竟以t表示跟x表
→ harveyhs:函數形式不同，只是物理書通常不引入。原po會覺得怪應該
→ harveyhs:是這點？
→ TDOJ:那個式子在嚴格的數學表示裡的確是不合格的，但算不上錯
推 aspeter:不太懂為什麼V(t)不等於V(x(t))耶
推 aspeter:只要x和t互為函數(反函數)不就沒差,不走到同一個地點就ok
感謝大家回答 :)

我決定把高微拿來啃，啃完有問題再來問大家 :p~~
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 23:28)
推 herbert570:asp的問題，如果引入一個~或是什麼'之類的符號，代表差
→ herbert570:異應該就可以知道原po的問題在哪裡了。
→ herbert570:V(t)=V'(x(t))，這邊的'只是代表不同而已，也就是說函
→ herbert570:數的長相不同，舉例來說，如果已知x=at^2/2，那麼
→ herbert570:V(t) = at，而V'(x) = √(2ax)，你可以觀察到，
→ herbert570:V(s) = as，而 V'(s) = √(2as)，其中s只是一個參數。
→ herbert570:他們的形式長的不一樣。原po的問題，其實那些書是沒有
→ herbert570:錯的，只是他們省略了那個|，因為當你的數學越用越複雜
→ herbert570:而這個符號又不會造成太大的ambiguity時，就會這樣簡記
推 ic6413:講什麼= =?
推 aspeter:有點複雜! 應該說只要有辦法寫成V(X(t))和V(t) 就沒問題
→ aspeter:代表已經滿足函數的定義
推 ro9956882:有神快拜XD
→ profyang:什麼鬼 懷疑書本有錯很好 但也不要理所當然認為自己是對
推 Vulpix:推herbert大，這完全是因為想一直用v代表「速度」
→ Vulpix:不想換符號（事實上換符號會給自己找麻煩）而造成的。
→ Vulpix:關於這點，想找例子可以去看熱力學變數...如果要換函數...
→ Vulpix:不要問，很可怕，上次有個人換了，結果...
推 herstein:符號使用問題...