Re: [問題] a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt)

[ERT312 (312)]

※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 運動學中：
: 定義x'(t)=v(t),  v'(t)=a(t)
: 有不少人說：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是對的，
這是對的
: 還藉此推導了一些公式來解題目，
: 我懷疑這是錯的。來這邊問問大家。
: 對照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax,
: df(g(x))     df(y) |                dg(x)
: --------- = ------ |            *  -------
: dx           dy    |  y=g(x)         dx
: (註：stewart, larson, varberg 等傢伙的微積分書的 chain rule 都沒有 |
:                                                                    |y=g(x)
: 的寫法，而都是直接寫 df(g(x))/dx = (dy/du)  * (du/dx)，
: 對不起，我必須說他們全都寫錯了 :)。
書沒錯，書一定會交代 y=f(g(x)) , u=g(x)
一定是你沒看清楚
: 如果你是老師，記得講課時幫學生更正一下。
: )
: 話拉回來，
: chain rule 要能成立，可是有前提的。
: 對整個被微分對象而言，
: 1. 他必須是兩個函數所合成的合成函數f(g(x))，
: 等號右側可寫成二項相乘：
:    一項是    ── 外面的函數f以y表示時(即f(y))，對y微分的結果
:                   或者說：f(y)對y微分，得到的導函數再將y=g(x)代入
:                   或者說：說 f(g(x)) 對 g(x) 微分
:             注意，不能說f(x)對g(x)微分，那差太遠了
:   另一項是   ── 裡面的函數g(x)對x微分。
: 總之，這要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt)
: (以下我先假設他是對的，用反諷的手法推論下去，得到不對或矛盾的結果，
: 而知假設錯誤，得到  a= (dv/dx) * (dx/dt) 為錯 )
: 根據上面 chain rule 樣貌，a 應等於   dv(x(t))
:                                     ----------
:                                         dt
: 這樣就是說， v(x(t)) 微分恆為 a(t) 囉！？
: 又同樣邏輯， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt，
: 兩個函數的導函數一樣，不知道有沒有兩個函數必相等的 theorem，
會差個常數
: 如果有， v(t) 就是  v(x(t)) 了！也太不可思議。
簡單講就是你犯了一個濫用符號的錯誤
v(x(t)) 代表 v(.) 是 x 的函數
v(t) 代表 v(.) 是 t 的函數
兩個不一樣的函數你用同一個符號
難怪會出問題
若要同時提及這兩個函數
最好用不同的符號
例如 v=f(t)=g(x)=g(x(t))
: 網路上不少人以之為對（他們給不出證明），我有點保留。
: 請大家來討論看看。

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◆ From: 114.39.167.9
推 alfadick:v(x(t))應該是v跟x函數的合成，這是這符號的definition
→ alfadick:沒事，我看太快，我跟你認知完全一樣
推 alfadick:等我把高微啃完再回來想這問題了~ thanks for reply
→ alfadick:符號混用部分我明天白天有空的時候再重頭細想一遍
→ herbert570:符號的部分我推文回在上一篇中，有空可以看一下
推 ntust661:我推這篇 簡單扼要XD