推 yyc2008:辛苦推 01/18 19:51
※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：
: http://tinyurl.com/3xjmo26 (請先開這網址再開下列網址就可看到公式)
: 在吳大猷理論物理的第二冊
: 量子論與原子結構的甲部第五章 P57 ~ P58
: http://tinyurl.com/29vubyc
: 之後從 P58 的 ( V-18 ) 推到 ( V-19 ) 中間好像跳過一大串過程
: 不曉得要怎麼去推導到這個結果
: 書上的 ( V-19 ) 沒有 -1/2 次方，電子書上有 -1/2 次方
: 已驗證過有 -1/2 次方沒錯
: 然後令 m0 c^2 = 2R/α^2 代入 ( V-19 ) 泰勒展開來推得 ( V-20 )
: 引用 n = nr + k 推得 ( V-21 )
: 發現其實書上跟電子書上都印錯
: 3 n 3 n
: + - ( - ) 的地方應該改為 - - ( - )
: 2 k 2 k
: 習題1 分母的 1 + εsinφ 應該更正為 1 + εcosφ (書上跟電子書上都印錯)
: 習題1 與 習題2 會用到的積分推導方法：
: 只需要微積分的基礎
: http://tinyurl.com/23tbeqb
: 需要留數積分的基礎
: http://tinyurl.com/2bsy3b8
: 習題3 的答案只要代入下列公式就求出答案
: ____________
: 橢圓軌道修正的偏心率：ε = √1 - (k/n)^2
: 橢圓軌道修正 + 特殊相對論修正的偏心率：
: ____________________________________________________________
: ε = √1 - ( k^2 - α^2 Z^2 ) / [ n - k + √( k^2 - α^2 Z^2 ) ]^2
: rel
: Limit ε = ε
: α→0 rel
: 主要的問題是 " P58 的 ( V-18 ) 推到 ( V-19 ) 中間好像跳過一大串過程 "
: 希望有人可以幫我解決這個問題^^
的確跳過一大串過程
將 (V-5)、(V-17) 代回 (V-12) 或 P57第二式之前式，整理後可得
2
2 Pφ
Pr + ──
r^2
hbar^2 k^2 2 2 2 2 2
= ─────── [ 1 + ε γ + 2ε cosγφ + ε (1 - γ ) cos γφ ] (a)
a^2 (1-ε^2)^2
再由 (V-14)、(V-15)、(V-17) 比較可得等式如下
E 2 2 2 hbar^2
Z ( 1 + ─── ) a ( 1 - ε ) = k γ ─── (b)
m0 c^2 m0 e^2
2 2 Z^2 2 2 2 2 2
γ = 1 - α ── => k γ = k - α Z (c)
k^2
將 (b)、(c)、(V-16)、(V-17) 代回 (V-12) 或 P57第二式之後式，整理後可得
2 2
Z e 1 Z e 2
2m0 ( E + ── ) + ── ( E + ── )
r c^2 r
hbar^2 k^2 2 2 2
= ─────── [ 1 + □ + 2ε cosγφ + ε (1 - γ ) cos γφ ] (d)
a^2 (1-ε^2)^2
在此
2 4
γ γ 1 2 2
□ = ─── - ─── ──────── = ε γ ( 比較 a 式 與 d 式 )
1-γ^2 1-γ^2 E 2
( 1 + ─── )
m0 c^2
將上式兩邊同乘以 (1-γ^2)/γ^4，整理後可得
E 2 1
( 1 + ─── ) = ───────────
m0 c^2 2 1 2
ε + ── ( 1 - ε )
γ^2
E 2 1 2 -1/2
1 + ─── = ± [ ε + ── ( 1 - ε ) ]
m0 c^2 γ^2
由於電子的能量 E 為負數且其絕對值的數量級遠小於 m0 c^2 的數量級，故取正號
E 2 1 2 -1/2
1 + ─── = [ ε + ── ( 1 - ε ) ] (e)
m0 c^2 γ^2
最後將 (c)、(V-18) 代入 (e)，整理後可得 (V-19)
另外將 (V-19) 的後式對 αZ 泰勒展開後
再將 m0 c^2 化為 2R/α^2 推得 ( V-20 )
引用 n = nr + k 推得 ( V-21 )
果然書上跟電子書上都印錯
3 n 3 n
+ - ( - ) 的地方應該更正為 - - ( - )
2 k 2 k
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電子Dirac 方程式：
[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar ∂Ψ/∂t
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※ 編輯: Frobenius 來自: 118.168.86.110 (01/18 18:20)