Re: [問題] 關於Canonical ensemble

[x73807 (草痣丁~小草)]

※ 引述《x73807 (草痣丁~小草)》之銘言：
: 標題: [問題] 關於Canonical ensemble
: 時間: Mon Mar  4 01:00:17 2013
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: 統力上推導出Boltzmann distribution(P~A*exp(E/kT))
:
: 可以由兩種方式推導出
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: 一種是heat-bath的概念
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: 及考慮系統A和一個溫度T的熱庫A'達成熱平衡
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: 去計算A處在各個能量狀態的機率
:
: 可以導出Boltzmann distribution
:
: 另一種是利用ensemble theory
:
: 參考wiki: http://0rz.tw/g7av1
:
: 這邊引入ensemble的概念

: 推 JAPTX4869:W是狀態機率 ensemble就是對於某個物理量的期望值        03/04 01:31

不好意思 對於W是ensemble在某個特定的分布{ni}的"狀態數"

這點我不是很了解

舉個最簡單的例子假設一個小的ensemble有四個systems

而且這些系統的能量只能是E1和E2

假如這個ensemble中有兩個systems在能量E1的狀態(n1=2)

另外兩個systems在能量E2的狀態(n2=2)

那麼這時候ensemble在這個分布下({n1=2,n2=2})的"狀態數 W"是多少?

根據wiki上的W公式 在此狀況下W=4!/(2!2!)=6 個狀態數

依照上面的結果來反推 我們把四個系統編號為 1,2,3,4

可以想成四顆球中其中兩顆視為相同的球(system 1=system 2)

另外兩顆視為另一組相同的球(system 3=system 4)

那將這四顆球進行排列會有幾種可能便是這個ensemble的狀態數

則共有下面六種狀況

energy  system

case1

  E2      1,2

  E1      3,4

case2

  E2      3,4

  E1      1,2

csae3

  E2      1,3

  E1      2,4

case4

  E2      2,4

  E1      1,3

case5

  E2      1,4

  E1      2,3

case6

  E2      2,3

  E1      1,4

不知道上面的討論在想法上是否是正確的

如果是正確的那我有幾點弄不清楚的問題

對於ensemble中的systems在討論時要視為

indistinguishable 還是 distinguishable

感覺好像兩種都不適合

因為如果四個sytems都是indistinguishable的話

那W只會等於1

如果是distinguishable

那W=4!

都和上面的討論不符

是否我的想法上哪邊有問題呢

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.58.55.10
→ caseypie:為什麼distinguishable會是4!
→ x73807:我的想法是如果是可區分的話系統1和系統2對調要看成是
→ x73807:不同的ensemble  state
→ x73807:如果四個系統都是不可區分的話 那不管系統1,2,3,4怎麼排
→ x73807:都只有一種排法  所以W=1
→ x73807:其實我的問題應該是不懂甚麼是ensemble state
→ x73807:什麼叫做"不同"的ensemble state
→ x73807:如同上面列出的六個case 為何這六個case可以看做是不同的
→ x73807:他們到底不同在哪裡?
→ x73807:因為上面那六個case是我牽就W=4!/2!2! 這個公式所討論出來
→ x73807:但我搞不懂這樣排列為何可以看做是不同的ensemble state
→ x73807:Pathria p45 eq (2) 也有講到這個地方 不知道是否是我
→ x73807:誤會上面所寫的內容了?
→ wohtp:這裡所謂「無法區分」是巨觀上的意思。
→ wohtp:微觀上，你的確有四個不同的系統。所以兩個系統在E1，兩個系
→ wohtp:統在E2，一共有六種排法，六個不同的state。
→ wohtp:但是巨觀上，你只看得到總能量 2*E1+2*E2，分不出誰是誰，
→ wohtp:所以才把這六個state全看成同一個
→ wohtp:就像是「一個銅板丟四次，兩次正面兩次反面」這個例子一樣
→ wohtp:拿到正反面的順序不同就代表丟銅板的結果不同
→ wohtp:但是因為你只在意正面的次數總共多少，所以六種不同的結果
→ wohtp:通通被你算在一起。
謝謝

還有一個地方不懂為什麼system 1,2對調不能視為不同的ensemble state?

system 1,2對調和system 3,4對調都要看做相同的ensemble state

導致4!還要除上(2!2!)

因為我的看法是巨觀上system1,2,3,4都是相同的

但各自有不同的微觀態 所以微觀上可以看做是不同的四個系統

可是這樣的計算結果變成W=4!

我的想法哪裡出了問題呢?

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我似乎了解了 可能是我舉例子的時候用的方式不好 讓我想差了

上面的狀況是否可以理解成我有一個ensemble包含四個系統去做實驗

那在{n1=2,n2=2}的條件下 這個實驗的微觀態(即ensemble state)有哪些

可能會有

{E1 E1 E2 E2} {E1 E2 E1 E2} {E2 E1 E1 E2} {E2 E1 E2 E1}

{E1 E2 E2 E1} {E2 E2 E1 E1}

上面這六種微觀狀態

不知道換成這樣想是否是對的?

※ 編輯: x73807          來自: 61.58.55.10          (03/04 16:50)
※ 編輯: x73807          來自: 61.58.55.10          (03/04 17:08)
→ wohtp:這樣就對了

感謝

這樣看來在推導Boltzmann distribution

用的兩種方法(heat-bath和ensemble theory)

似乎本質上是一樣的?

都是在求微觀狀態數最大的巨觀態

那為何還要引入ensemble的方式?

難道只是因為日後求統計量上有一個比較直覺的思考方式嗎

(例如求平均值就將處在狀態數最多的ensemble state

的ensemble   把包含在其中的systems去做平均)

還是有其他用意呢?
※ 編輯: x73807          來自: 61.58.55.10          (03/04 17:47)
※ 編輯: x73807          來自: 61.58.55.10          (03/04 17:48)
→ wohtp:兩個都是同一種東西，本質當然一樣啊...
→ wohtp:重點就是「機率與microstate數目成正比」這件事
→ wohtp:其他都只是模型的細節