Re: [問題] 電子在磁場作圓周運動為何不輻射電磁波?

[kanonehilber (我愛U-15!!!)]

※ 引述《roy8310 (WAVE FUNC)》之銘言：
: 標題: [問題] 電子在磁場作圓周運動為何不輻射電磁波?
: 時間: Tue Apr 23 12:00:43 2013
:
: 就是在原子模型時
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: 有說到電子與原子核有吸引力
:
: 因為電子加速度而產生電磁波輻射能量而墜毀
:
: 我知道這跟事實不符，但這不是討論的重點
:
: 我想問的就是，在一均勻磁場有一固定速度電子射入該磁場
:
: 且V⊥B，都知道電子會做等速圓周運動
:
: 可是電子在磁場中不是也有向心力嘛?
:
: 應該也有加速度才對，為何可以維持固定的軌道作等速圓周運動呢?
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 114.33.28.121
: 推 ren1072:好問題，你學過量子力學沒?                               04/23 12:10
: → roy8310:還沒有QQ                                                04/23 12:18
: 推 ren1072:http://tinyurl.com/cm5hyk2                              04/23 12:18
: → ren1072:我猜你想問的是這個... 雖然跟古典的差很多                04/23 12:18
: → roy8310:嗯!之前沒有注意到這問題一直以為磁力垂直運動軌跡所以不   04/23 12:27
: → roy8310:做功，可以維持在軌道上，但我就想到電子跟原子核不也是徑  04/23 12:28
: → roy8310:向的力嘛? 為何會墜毀                                    04/23 12:29
: 推 ren1072:噢! 你要考慮因加速度所損失的能量跟動能相比大不大        04/23 12:35
: → ren1072:如果夠小我們當然可以把它當成一個等速圓周                04/23 12:35
: → roy8310:損失的能量是電磁輻射嘛@@?                               04/23 12:43
: → jacob0425:會輻射電磁波啊.....所以同步輻射中心才蓋的起來....     04/23 15:02




我以前也想過這個問題，為什麼同樣是受到向心力，在磁場中就可以維持圓周運動而繞

原子就會墜毀，其實推文中已經回答了，要是損失的能量與原本的動能相比太小的話可

以忽略那些損失，當作等速圓周運動，不過最好的方法還是舉個例算算看

以下比較(1)氫原子和(2)一般電子入射磁場的case

假設(2)電子是通過100 V的電壓加速之後在磁場內做半徑15公分的圓周運動


順便回答推文中的問題，電子受加速放出會電磁波，且根據Larmor formula輻射功率

          2 2
     μ0 q a
P = ───── ，詳見Griffiths電磁學中有關point charge radiation的章節
       6πc

要求P我們需要知道a，也就是加速度，可由F=ma求得

            2                  9          -19 2
         k e             9 ×10  ×(1.6×10  )           -31
(1) F = ─── = ma → ──────────── = 9.11×10  ×a
           2                       -11 2
          r                  (5 ×10  )
                   23   2
    → a = 1.01×10  m/s

                 -7         -19 2           23 2
           4π×10 ×(1.6×10  ) ×(1.01×10  )           -8
    → P = ─────────────────── = 5.8×10  W
                           8
                6π×3 ×10
                         2          2
                      m v        k e             -18
  而電子的動能 E = ──── = ──── = 2.304×10   J，比輻射功率還要小10個
                K      2          2r

  數量級，所以此圓周運動肯定不穩定，再來看看(2)


(2)
                                 6
  通過100 V加速的電子速度約6 ×10 m/s，要滿足半徑15公分的圓周運動須外加約
         -4
  2.27×10 T的磁場
                        -19        6         -4         -31
  F = qvB = ma → 1.6×10  ×6 ×10 ×2.27×10 = 9.11×10  ×a

                 14
  → a = 2.39×10  m/s

                 -7         -19 2           14 2
           4π×10 ×(1.6×10  ) ×(2.39×10  )            -25
    → P = ─────────────────── = 3.25×10  W
                           8
                6π×3 ×10


                                    -17
  此時的電子動能 E = 100 eV = 1.6×10   J，比輻射功率還要大上8個數量級，所以
                  K
  此圓周運動非常穩定，到這裡應該就明白問題的所在了


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補充

不過這種point charge radiation有什麼應用嗎?

答案就是推文中提到的同步輻射，以台灣的TLS為例，電子動能1.5 GeV，相對論因子

γ ~ 2935，考慮相對論效應，加速度方向與運動方向垂直時輻射功率

             2               4
            e c             E
P = ────────── ×──，E為動能
                  2 4        2
      6πε0×(m0c )        R

繞一圈損失ΔE = P×2π/c的能量
                                 4
                                E [GeV]
換成常用的單位 ΔE[keV]=88.5 ×────
                                 R [m]

電磁鐵在飽和磁化量之下約可產生B = 2 T的磁場

由magnetic rigidity B ×R = p/q → R = p/Bq = γm0 v/Bq = 2.51 m

                  4
→ ΔE = 88.5×1.5 /2.51 =178.5 keV，阿  算這個好像跟介紹同步輻射沒啥關係XD

隨便啦，都話說我自己也從來沒有真的這樣算過一遍，以前也是聽聽別說可以忽略損失

就當做等速圓周運動，果然還是要自己算過一遍才有感覺~~不過都沒有驗算就是了~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.195.44.55
推 Frobenius:推好文！
推 ren1072:推!!
推 roy8310:感謝k大給了方向及算式!! 以及謝謝前面推文的大大!
推 alice456:推推..還給了實際計算過程..!!
推 henrypinge:應該m起來
推 jacob0425:push
推 Liubae:push!
推 lefan:強大
推 kevin60405:高手
推 sputtering:如果是中心力運動，拉電子的力就會等於電子拉的力
→ sputtering:顯然與事實不符，這不是球諧場，應該是一種規範場