Re: [問題] 波函數與spherical harmonics

[Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)]

※ 引述《kids513 (唷唷~)》之銘言：
: 想要請問版上的大家一個很簡單的問題<(_ _)>
: 在求波函數量子數(n,m.l)為(2,1,1)的波函數ψ(r)時，想要利用波函數的定義
: ψ(r)=R(r)Ym,l(θ,φ)
: 所以ψ2,1,1(r) = R2,1(r)‧Y1,1(θ,φ)
: 又 R2,1(r) = (1/2a0)^(3/2)‧(r/√3 a0)‧e^(-r/2a0)
:    Y1,1 = -1/2√(3/2π)‧sinθ‧e^(iφ)
: 所以ψ2,1,1(r) = 負的(.....)
: 但是目前查到的都是正的@@~
: 想要請問是哪裡出了問題呢？非常謝謝<(_ _)>

Mathematica 內建函數：
(因我不能保證其他軟體的定義是否相同，故以此為例)

SphericalHarmonicY[L,M,θ,φ]
    __________   _____________
= √(2L+1)/4π √(L-M)!/(L+M)! LegendreP[L,M,Cos[θ]] Exp[iMφ]

        M-|M|    __________  _________________
=(-1)^(-------)√(2L+1)/4π√(L-|M|)!/(L+|M|)!LegendreP[L,|M|,Cos[θ]]Exp[iMφ]
          2

http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
( http://tinyurl.com/33qym5 )

                                                 |M|
                                                d
LegendreP[L,|M|,x] = (-1)^(|M|)(1-x^2)^(|M|/2) ------ LegendreP[L,0,x]
                                               dx^|M|

where x = Cos[θ]

http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLegendrePolynomial.html
( http://tinyurl.com/ct3n8aq )

       M-|M|                         M+|M|
(-1)^(-------) * (-1)^(|M|) = (-1)^(-------)
         2                             2


物理學家常用的定義：

Ｙ   (θ,φ)
  L,M
    __________   _____________
= √(2L+1)/4π √(L-M)!/(L+M)! (-1)^M P   (cosθ) e^(iMφ)
                               ~~~~~~  L,M

                   |M|-M              |M|+M
p.s. (-1)^M*(-1)^(-------)*1 = (-1)^(-------)
     ~~~~~~          2                  2

         M+|M|     __________  _________________
= (-1)^(-------) √(2L+1)/4π√(L-|M|)!/(L+|M|)! P     (cosθ) e^(iMφ)
           2                                      L,|M|

                              |M|
                             d
P     (x) = (1-x^2)^(|M|/2) ------ P (x)  , where x = cosθ
 L,|M|                      dx^|M|  L

            M+|M|                M+|M|
p.s. (-1)^(-------) * 1 = (-1)^(-------)
              2                    2

化學家常用的定義：

y   (θ,φ)
 L,M
    __________   _____________
= √(2L+1)/4π √(L-M)!/(L+M)!  P   (cosθ) e^(iMφ)
                                 L,M

         |M|-M     __________  _________________
= (-1)^(-------) √(2L+1)/4π√(L-|M|)!/(L+|M|)! P     (cosθ) e^(iMφ)
           2                                      L,|M|

                              |M|
                             d
P     (x) = (1-x^2)^(|M|/2) ------ P (x)  , where x = cosθ
 L,|M|                      dx^|M|  L


            |M|-M              |M|-M
p.s. (-1)^(-------)*1 = (-1)^(-------)
              2                  2

結論就是 球諧函數 在 Mathematica 內建函數 與 物理學家常用的定義　是一樣的

差別只在於雖然他們 球諧函數Y 對於 LegendreP 的表達式不同

但在 LegendreP 的 數學家的定義 跟 物理學家常用的定義　是不同的

綜合之下其展開式是一樣的

但是在化學家常用的定義中 球諧函數Y 對於 LegendreP 的表達式 少了(-1)^M

不過對於 LegendreP 的定義，化學家常用的定義 跟 物理學家常用的定義 是一樣的

所以才會造成這樣的差異，會有所出入

因此當我們在參考這些特殊函數的時候，

必須先注意到他的前提或者是定義，否則在每本書交叉參考時會有所困惑

所以當 L = 1 , M = 1 時

Mathematica 的內建函數 跟 物理學家常用的定義 之下是：

       M+|M|            1 + |-1|
(-1)^(-------) = (-1)^(----------) = (-1)^(2/2) = -1
         2                 2

化學家的定義 之下是：

       |M|-M            |-1| - 1
(-1)^(-------) = (-1)^(----------) = (-1)^0 = 1
         2                  2

才會有正負號的差別～

我想可能是你所翻到的資料比較接近 化學家常用的定義

--
電子Dirac 方程式：
[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar ∂Ψ/∂t

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 118.168.85.161
推 leo80042:沒錯，以前被困擾了一陣子 XD
→ kids513:太感激了，謝謝大大清楚的解釋<(_ _)>
推 kurt28:推!
推 kanonehilber:推