Re: [問題] Lagrange equation

[pipidog (如果狗狗飛上天)]

: 一直以來都認為 L 是一種很神奇表達法 XDD
: 謝謝大家抽空幫忙!!
老文重貼,希望沒有違反版規. 這是個人對L的一點看法,希望可以讓

你看完之後不再覺得L有這麼"神奇"

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個人心得,不精確的解釋,不是教科書上會出現的說法,請自行驗證:

1. action = 廣義動量所對應的勢 S. ( p=grad(S) )

2. 粒子在位形空間運動,會對這個勢產生擾動. 好比一隻魚在一團膠水

   中游泳一樣.這個過程導致S會有時變. 該時變遵守Hamilton-Jacobian

   方程.

3.由於在不同的座標系下看S,會看到不同的時變率,我們可以定義:

  跟著粒子運動,所看見的勢的時變率就是拉氏量  L

  站在一旁不動,所看見的勢的時變率就是哈氏量 -H

4.怎麼理解粒子要走對S泛函微分為極值的路線?

  把邏輯反過來想,對一個已知L跟H的系統,我們該有怎樣的S? 這就必須

  要求 ds/dt=L, ps/pt=-H. 把兩式聯繫起來,我們有:

  L-pq'=-H ,把左式通通用s代換掉,就會發現,原來就是在對S作泛函微分!

  所以目的是求S,但是對S的泛函微分剛好會跑出L跟H,所以可以反過來說,

  S就是對L求泛函積分.

總結: 邏輯上,我們設對每個系統都存在一個基本量S,並假設這個S滿足H-J

      方程.則古典力學已推導完畢. 但實務上,S寫不下來,但是S在不同座

      標下的時變率,也就是對S取泛函微分後產生的兩個參數,H,L可以很輕

      易的寫下來. 因此實務上,我們是先寫下H,L,然後積分反求回S.這就

      是古典力學.

附註: 所以若把S視為基本量,就不要在問為什麼要對L積分取action了.因為

      L不是基本量,S才是,但是S我們不會寫,只好先寫下它的泛函微分L,然

      後透過對H-J方程積分反求回S. 所以不是我們為什麼要把L的積分叫作

      S,而是我們一開始就把S的微分叫作L. 從L,求S. S是什麼? 廣義動量

      的勢! 有S則萬物可解. 從這個邏輯出發,就無所謂看不懂積分的意義了.

      因為積分在這個邏輯下只是過程,不是目的.


打完收工....

(再次聲明,個人心得,純分享,不敢保證正確無誤,請自行衡量服用.至少我當

 年念古典力學的時候是這樣來理解action的. 當時還很興奮的寫在自己的筆

 記裡,今已泛黃...)

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◆ From: 128.120.178.65
→ yw1002:action就是在空間下求一個場對路徑的積分
→ yw1002:但是在起點終點固定的情形下，路徑有無限多種可能
→ yw1002:這些路徑統稱為homotopy group
→ yw1002:把一個向量函數在空間中積分可以分為沿著路徑切向量
→ yw1002:跟法向量....切向量積分結果就是FdS....對應到純量位
→ yw1002:法向量積分對應到向量位.....就是跟切向量線性獨立的部分
→ yw1002:關於法向量的意義典型就是磁場了。在安培定律可以發現這個
→ yw1002:奇怪現象；磁場只有在電荷移動下才會出現！也就是說要考慮
→ yw1002:磁場不能只考慮靜態幾何空間，還必須考慮有時間的座標
→ yw1002:大概也跟gauge freedom多餘的degree of freedom有關
推 yw1002:在d'Alembert/Lagrange那個時代還沒有向量分析
→ yw1002:你把他們的推導重新用向量分析來寫會很清楚
推 crazyjonas:感謝分享
推 WINDHEAD:homotopy group並不是三樓說的東西
推 WINDHEAD:推推這個很有趣，幾何的觀點來說 S 才是基本量
推 ic6413:............................
推 Frobenius:感謝分享
推 xgcj:.....................................
推 xgcj:yw在胡說八道 別鳥她
推 monkps:謝謝大家幫忙，日後若再有問題，再麻煩大家了
推 john01:忍不住囉~~哈哈
推 p721209:寫得很好 很有物理的感覺