[問題] 那我也來問一下 action

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

古典力學下面，action 的極值發生在滿足運動方程式的時候。



可是，反正系統不可能違反運動方程式，其他的路徑物理上都沒有實際
意義。

或者換個角度來看，可以說只有運動方程式才是真的，action 只是我
們為了方便而發明的數學玩意。




那麼，給定極值的條件，我們可不可以發明很多個不同的 action，但
是全部都對應到同一個古典力學系統？

我問這個問題是因為，丟進 path integral 量子化的時候，有意義的
就不只是是極值而已了。



我已知的例子：

1) 加個 total derivative。根本沒差不討論。

2) 用 auxilliary field/Lagrange multiplier 去 enforce constraint。
　 例如 O(n) model 或 SUSY(?)

3) 跟 GR 有關的 action 常常有個該死的根號，偷天換日一下就可以讓它不見。
　 例如 Einstein action --> vielbein
        Nambu-Goto action --> Polyakov action


其實後面兩個例子裡面，dynamical variable 根本都不一樣了。



有沒有可能有同樣的dynamical variable，非常不同的 action？



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 183.171.160.153
推 yw1002:我猜你說的大概類似conformal symmetry/mapping那種
好像也不是。

首先，我想問的就是沒有對稱性的時候。雖然古典運動方程式一樣，但是
exp(iS) 一離開鞍點會變成完全不同的東西，有沒有這樣的狀況？




考慮一個 R --> R 的函數，只給定幾個 stationary point 的位置，我可以畫
出一堆不一樣的圖來。


換成 R^n --> R，給定幾個 hyper surface，要求這個函數在上面的的梯度是零，
剩下來的部分還是隨我畫。


再換成 {R --> R^n} --> R，現在 domain 更複雜了，剩下來給我自由發揮的部
分不是應該更大嗎？


※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.165.240      (07/04 18:01)
→ Vulpix:我想這個答案很可能是否定的？如果只是"一個解"的話，那確
→ Vulpix:實自由發揮的空間太多。可是現在要同時看所有可能的運動，
→ Vulpix:或許這樣會比較像給定y=k時，x必須滿足f(x,k)=0？
→ Vulpix:也還只是猜測而已
你說的「所有解」差別只在起始條件跟邊界條件吧？
Lagragian哪裡管你這個？
※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.174.216      (07/05 17:24)
→ Vulpix:或許可以先考慮看看這個情況："直線們"可不可以是其他
→ Vulpix:Lagragian的EOM？畢竟這個case應該比較好討論，得出結論後
→ Vulpix:再推廣應該更容易吧。
→ Vulpix:"直線們"可不可以是其他Lagragian的EOM的解
→ Vulpix:剛剛試了一下，確實可以找到其他的Lagragian，現在想找找看
→ Vulpix:所有的Lagragian，能知道他們全體的行為應該會很方便吧。
→ caseypie:其實我看不懂，不過spin glass的partition function
→ caseypie:當成虛數時間的action，會不會有你想要的東西
我想到一個例子。


一維粒子的 Lagrangian
    .
L = x^2 / 2 - V(x)
              ..
可以看成是把  x  +  V'(x) 積分得到的。


--edit--

其實應該是 S = \int L dt  才是運動方程式的積分啦。

--edit--



那我把運動方程式改寫成
         ..
exp(x) [ x  +  V'(x) ] = 0

左邊怎麼積分我不知道，但是微分會變成左邊的 L 沒道理不存在。


因為 exp(x) 當然不是零，古典物理不會受影響。
但是量子化以後應該會是很不一樣的東西？




※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.174.216      (07/05 22:24)
推 yw1002:你那個L不能直接這樣微分。古典視時空絕對不相干，但是在
→ yw1002:特殊相對論，時空要合併
→ yw1002:動量跟場都要relativistic
推 yw1002:運動方程式寫成那樣是fourier transform?
我們維持non-relativistic好不好？而且我也沒跟你說場論啊。

※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.174.216      (07/05 22:58)
推 yw1002:那個exp(x)好像是作某種transformation?
※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.174.216      (07/05 23:04)
推 yw1002:action指的是一個不變量(adiabatic invariant)至於你會觀察
→ yw1002:到什麼結果就視你的參考座標而定
→ yw1002:你用了exp(x)表示你要在相空間裡觀察它吧
→ yw1002:先normalization，然後density matrix
我說y大，你騙騙無知的小孩就算了，到我這篇裡面烙名詞是要鬧哪樁？ ﹙ˊ_>ˋ﹚

※ 編輯: wohtp           來自: 183.171.174.216      (07/05 23:12)
推 yw1002:你的問題似乎是「各種觀察對應到同一個不變量action；那
推 ren1072:adiabatic invariant 是這樣用的喔...
→ yw1002:有沒有可能反過來也成立？」如果是這樣那就不叫不變了
→ yw1002:會變表示你要重正規化
推 yw1002:d'Alembert那些人沒有廣義幾何的概念，virtual action只考
→ yw1002:慮場對路徑切向量的部分。但是法向量雖然不作功，卻會影響
→ yw1002:曲率
推 yw1002:我猜你的問題在數學上很像就是，一個曲線一次二次微分相同
→ yw1002:有沒有可能三次微分不同？你站在同一點固定不動當然是這樣
→ yw1002:但是如果有covariant derivative的概念
→ yw1002:就很像perturbation裡divergence、asymptotic freedom那樣
推 yw1002:w大說的是
→ caseypie:其實我看懂了，第一眼掃過去而已其實沒在閱讀Orz
→ caseypie:不過我還是無法參與討論，因為我不懂path integral（囧）