若定義恢復係數 e = 遠離速率 / 接近速率，
令撞擊者質量為m1，被撞擊者質量為m2，
m1 初速度 v, m2 初時靜止, m1 末速度 v1, m2 末速度 v2
則 m1 初動量p=m1v , m1末動量p1=m1v1 , m2末動量p2=m2v2
(以上有方向性之物理量，以下算式均以向量處理)
2
p‧p = p 餘類推 且 e = |v12'|/|v12| = |v12'|/|v|
2 2 2
系統動量守恆而有 p = p1 + p2 + 2p1‧p2 cos(θ+φ) ...[1]
2 2 2
前後總動能守恆有 p / 2m1 = p1 / 2m1 + p2 / 2m2
2 2 2 2 2 2
=> p = p1 + (m1/m2) p2 ...[2] 以及 v = v1 + (m2/m1) v2 ...[5]
(1)'
‧
‧
‧ θ
(1) → ‧‧‧‧(2) - - - - - -
‧ φ
‧
‧
(2)'
2
[1]-[2] 得 0 = (1 - m1/m2)p2 + 2p1‧p2 cos(θ+φ)
2
p2 m1 - m2 m1 - m2 |v2|
=> cos(θ+φ) = -------- ------- = ------- ---- ...[3]
2 p1‧p2 m2 2m1 |v1|
2 2
|v12'| = |v1 - v2| = √(v1 + v2 - 2v1‧v2)
2 2
= √(v1 + v2 - 2 |v1||v2|cos(θ+φ) ) ...[4]
將[3]代入[4], 得
2 2 m1 - m2 |v2|
|v12'| = √(v1 + v2 - 2 |v1||v2| ------- ---- )
2m1 |v1|
2 2 m1 - m2 2
= √(v1 + v2 - ------- v2 )
m1
2 2
= √(v1 + (m2/m1)v2 ) = √([5]) = |v|
∴ e = 1 得證！
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◆ From: 180.218.161.157