推 yw1002:雖然線性代數是一門龐大的領域，但是在實際問題裡可以發現 11/24 10:01
→ yw1002:絕大多數都屬於非線性的。 11/24 10:02
推 yw1002:現在問題就是從線代(矩陣分析)產生的觀念結構可以保留哪些 11/24 10:05
→ yw1002:到非線性系統。例如topological vector space、連續可微 11/24 10:05
→ yw1002:集合....homogeneous/Green's function/distribution 11/24 10:06
推 yw1002:數學版那題聯立方程式求解可以作移項處理，但是從bilinear 11/24 10:09
→ yw1002:跟張量共變的方向去看應該可以有新發現 11/24 10:10
請別製造無關推文
推 Atropos0723:"各自被分配多少熱能"與做功有關嗎？ 11/24 10:10
→ Atropos0723:所謂做功就是指動能的變化量，摩擦力做負功是將動能 11/24 10:11
→ Atropos0723:變成熱能，並沒有提到地面與物體各自分配多少熱的問題 11/24 10:12
推 yw1002:例如拓普的simply-connected/open/close set 11/24 10:13
→ Atropos0723:sawatari的算法我看不出有任何問題啊 11/24 10:13
請參考相關普通物理課本(Alonso尤為詳細；Serway亦有提及)。
簡言之，功的定義是質點受力與位移之內積。
『功－動能定理』是被推導出的結果，而非定義。
所以在引用功動能理時，就必須對前提特別小心。
對於多質點系統而言，總動能=內動能＋質心動能。
『系統被作總功＝系統總動能變化』才是『功－動能定理』的結果。
只有在內動能變化為零時，總動能變化與質心動能變化才能被視為等同。
所以在系統初末狀態沒有改變時，
我們才能簡單考慮質心動能為系統被作的總功。
在動摩擦力介入的過程中，這個前提不再成立
(甚至不可近似，因為此處造成的影響明顯不可忽略。)
因此這裡的FS只能等同於(或近似為)物體質心動能變化量。
而不能視為物體被作的總功。
(因為接觸面造成的狀態改變，在此過程中不可忽略)
類似的概念，在考慮氣體膨脹對外作的功尤為明顯。
因為被作功的系統如果不是剛體，單看質心動能的變化，
不會等同於氣體膨脹對外所作的總功。
→ yw1002:的確是需要慎重研究思考...因為摩擦力是非線性的 11/24 10:15
→ yw1002:就像愛因斯坦說物體能量跟當下慣性有關 11/24 10:15
→ yw1002:物理裡面一個系統的「絕熱」與否關係到能否被準確character 11/24 10:22
→ yw1002:記得板上之前也有篇講到相對論效應的序列展開收斂問題 11/24 10:23
→ yw1002:那種動態系統可能要用ergodic theory 11/24 10:24
→ yw1002:c大講到的接觸面有形變就是連續體力學拓普的領域了 11/24 10:25
→ yw1002:那是目前正夯的拓普場論 11/24 10:26
→ yw1002:之前的質點量力量場可以說是它的特例霸了 11/24 10:26
→ yw1002:不然你看巨型聚合分子像核酸甚至是有機碳鏈間的staggered 11/24 10:27
→ yw1002:conformation用傳統的量場是要分別對每個單一粒子作track 11/24 10:28
→ yw1002:根本不可能.....一定要從拓普不變性下手 11/24 10:28
請別再堆砌無關的內容。
推 Entropy1988:你的超導理論怎麼了。每次你都講了一堆結果什麼都沒有 11/24 11:01
→ Entropy1988:算出來吧。 11/24 11:01
→ Entropy1988:發表你的聯想你就滔滔不絕 要你弄出有意義的結果你就 11/24 11:04
→ Entropy1988:再研究 沒空 其實也不是很懂 11/24 11:04
推 yw1002:超導理論很不簡單阿....現在正在嘗試弄懂MIT 11/24 11:09
→ yw1002:章守晨最近一篇1D tin tpological insulator嚇到我了XD 11/24 11:10
→ yw1002:Is this the real deal 11/24 11:10
推 yw1002:給各位一個提示 章的SO(5)直覺跟Kaluza Klein有關 11/24 11:25
毫無關係。
推 Ertkkpoo:我覺得應該是差在 摩擦力作功 v.s. 摩擦力對"物體"作功 11/24 12:42
→ Ertkkpoo:前者正如s大所演示，後者則如c大所說 11/24 12:42
這裡的『摩擦力作功』，被作功的系統所指為何？
其實無論把系統選在Ａ物體上或者把系統選在『Ａ物體與斜面』，
系統被作的總功都不會等於 FS 的計算結果。
如果考慮『Ａ物體與斜面』此一系統，
考慮理想化的情形，系統所受之力為內力，
系統因內力被作的總功應為零。
另一個簡單的例子是去壓縮一個彈簧，
此時手施力對彈簧此一系統所作之功等於彈簧儲存的彈力位能。
但此一過程中，彈簧的質心動能沒有變化。
放手後，彈簧會產生震盪。
震盪過程裡動能與位能彼此互相轉換，可視為內力作功。
而每一周期裡，彈簧的初末狀態不變，內力作功的貢獻為零。
動摩擦作用的過程，則是比較複雜的的過程。
涉及兩系統間的作用力以及系統各自的內力。所以難以個別計算。
我們只能從能量守恆來估計總共的額外熱能有多少，
而這份熱能也就近似於Ａ物體質心動能的變化量。
推 yw1002:單純討論這個「力」為起點行不通：它是純量real-valued 11/24 13:29
→ yw1002:function還是vector-valued function?所以應該先討論在 11/24 13:30
→ yw1002:某個座標系(Euclidean/Galilean space是靜態)中場函數積分 11/24 13:30
→ yw1002:因為我們討論積分通常都是以實數為出發點，所以當實數域 11/24 13:31
→ yw1002:解不出來就轉而考慮複數域--Analytic function 11/24 13:32
→ yw1002:自從愛因斯坦相對論提出，是個大革命：從牛頓開始的歐式 11/24 13:33
→ yw1002:絕對時空不過是非線性時空的特例 11/24 13:33
→ yw1002:而既然Euclidean space中linear operator有個fixed point 11/24 13:34
→ yw1002:e^x.....在Lorentz group下的fixed point也直得研究 11/24 13:35
→ yw1002:在考慮相對論效應時各位不妨這麼想像：系統裡有N個點 11/24 13:36
→ yw1002:每個點上面都有正交座標系(R^n)...而這個座標是不斷隨著 11/24 13:36
→ yw1002:各自點運動 11/24 13:37
→ yw1002:舊的量力量場是單一質點的spectral/eigenvector 11/24 13:38
→ yw1002:新的拓普場是考慮manifold在絕熱下的eigenfunction 11/24 13:38
→ hyperino:比德曼哥還瘋 奇葩 11/24 16:05
→ tryharderplz:yw你以後有小孩 你就國小教他們QFT 我很好奇會怎樣 11/24 16:36
yw板友，請別再製造無關主題的推文內容。
這樣不僅是在妨礙其他板友進行正常交流，
也是在浪費您自己的時間，誤人誤己。
推 yw1002:如果從考慮zero dim的點粒子開始，看一下Jordan curve 11/24 23:27
推 willreturn:XDDDDDDDDDDDDDDDDD 11/24 23:28
→ yw1002:根據Poincare的topology，當1-manifold上任何一個點可以 11/24 23:28
→ yw1002:diffeomorphism時，它是simply-connected，這就是絕熱保守 11/24 23:29
→ yw1002:如果考慮一個封閉的面(2-manifold)，如果面上任何的closed 11/24 23:29
推 ToMoveJizz:room and jizz 11/24 23:30
→ yw1002:curve是不是可以連續收縮到一點 11/24 23:30
→ yw1002:當然在點粒子的運動路徑都是看他的投影在參考座標的量 11/24 23:31
→ yw1002:differential form......更高階那個類似的differential for 11/24 23:31
→ caseypie:照這種嚴格標準，也沒什麼純滾動的問題可以回答了 11/24 23:31
為什麼不能回答？
純滾動是靜摩擦，即使在現實中，
產生的熱能也可以忽略。
這與動摩擦產生極大的熱能（與質心動能的變化量同數量級），
完全是不同層次。
推 yw1002:schrodinger eq就是剛好在一維封閉曲線上才有eigenfunction 11/24 23:33
→ yw1002:那是屬於Hilbert的spectral theory一個分支罷了 11/24 23:34
→ yw1002:值得一提二維的波動在Euler時代就推導過了 11/24 23:34
→ caseypie:某垃圾訊息釋放器能不能關掉阿？ 11/24 23:36
→ tryharderplz:不要忽視我們餒 11/24 23:36
→ caseypie:古典力學基本假設就是一切物品不是質點就是剛體 11/24 23:37
我認為古典力學沒有做這種假設。
彈性力學不是古典力學？
→ caseypie:把這條拿掉假設拿掉，那整個古典力學廢掉好啦 11/24 23:37
如果您只能以這種情緒性的方式回應（而非討論），我將不再對此予以回應。
請以論理方式進行交流。
您推文內容回應的，目前為止完全與我所言無關，亦不構成反駁及衝突。
→ caseypie:就算沒有摩擦力，綁繩子在物體上拉，難道受力是均勻的？ 11/24 23:38
物理在分析問題時，常會考慮理想化模型。
理想化的模型必須能：
(1)作為有效的近似
(2)理論上必須能夠自洽
例如在狹義相對論中，『加速運動中的剛體』是矛盾的用詞。
因為這種模型在理論上是不自洽的。
涉及動摩擦作用的過程裡，狀態的改變對作功的影響是完全不可忽視的。
從熱能產生的增量等同於質心動能的變化即可知道，
這種影響所佔的貢獻比例是關鍵性的，且是巨大的。
這是在動摩擦作用過程中無法避免的(不只是現實上，而是理論上亦如此。)
否則，在理論上你就會推出矛盾的結果。
這在不只一本的相關書籍裡都有提及，請自行參閱。
如果您覺得這樣可以把古典力學廢掉，請投搞期刊或寄信與教科書原作者argue，
至少我看不出原作者寫的內容有任何問題，我也看不出您有反駁了原作者的分析。
然後，儘管我們無法計算出熱能的分配量，
我也不認為有什麼問題因此變得無法解決。
我們真正在乎的是｛Ａ物體與斜面｝此一系統總共產生多少熱能，
或者Ａ物體的質心動能變化了多少等等。
這些問題完全無需涉及Ａ物體被個別作了多少功。
另外，如果FS僅用來考慮Ａ物體的質心動能變化，在這裡是完全沒有問題的。
形變即使有微小影響，也足以忽略。
推 yw1002:那是dimension自由度的問題拉....即使是質點到了量力不也 11/24 23:51
→ yw1002:告訴你有自旋？至於何時那個hidden degree of freedom會 11/24 23:51
→ caseypie:看來是關不掉 11/24 23:52
→ yw1002:跑出來就是等到critical point平均場/RG才得到解釋 11/24 23:52
→ yw1002:弦論就是你所說的剛體情形阿 11/24 23:52
→ yw1002:會有弦論就是因為在某個規範場下系統處在hypersurface 11/24 23:53
→ yw1002:所以3D的hypersurface是2D面(holographic principle) 11/24 23:53
噓 ren1072:身為做弦論的學生我真的忍不住... 11/24 23:54
→ yw1002:adS-CFT, gravity/gauge duality...就是類似的 11/24 23:54
→ yw1002:總歸一句就是當你微分方程沒有可積性(non-solvable)時 11/24 23:55
→ yw1002:就去找那個線性獨立的dual space 11/24 23:56
→ yw1002:前面那個法拉第定律其實不過就Stokes theorem證明罷了 11/24 23:57
→ yw1002:然後是規範場的quantization問題...啥theta vacuum那些 11/24 23:58
推 yw1002:大家要有一個正確觀念：物理最複雜的謎只有牽涉到時間 11/25 01:15
→ yw1002:如果是R^n Euclidean space那就只有正則座標 not big deal 11/25 01:16
請自制。
→ yw1002:當一個object是質點時你很容易characterize它經過time 11/25 01:17
→ yw1002:series的evolution--一維curve 11/25 01:17
→ yw1002:但是如果是有extra dimension那就要考慮拓普性質 11/25 01:18
→ yw1002:質點座標經過linear operation/transformation那很基本 11/25 01:19
→ yw1002:現在要是一個2-manifold經過linear transformation? 11/25 01:19
→ yw1002:還有關於摩擦力的問題，關鍵在「相對運動」。兩個接觸面 11/25 01:20
→ yw1002:的相對運動分切面跟正向的。正向的coordinate跟切面的 11/25 01:21
→ yw1002:coordinate不一樣 11/25 01:21
→ yw1002:你一開始就繞著產生多少熱能(輻射還是傳導)是行不通的 11/25 01:22
→ yw1002:你要先考慮系統的adiabatic hypothesis有沒有絕熱 11/25 01:23
→ yw1002:一個點電荷雖然被連心力localize，要是spin deconfined 11/25 01:24
→ yw1002:那也是沒有絕熱 11/25 01:24
→ yw1002:time是什麼到現在學界還在爭論。打個比方來說，當你看到 11/25 01:25
→ yw1002:電流時，那個電荷密度實變率的時間是以誰為參考 11/25 01:25
→ yw1002:關於conservation law麻煩看一下Noether那篇(自己找) 11/25 01:27
推 tryharderplz:XDD 11/25 02:02
→ caseypie:古典力學的彈簧並不是個帶有質量的東西，連重彈簧也不是 11/25 02:06
→ caseypie:那只是一個「受力後會讓兩端的質點變長」的operator 11/25 02:07
古典力學裡『忽略彈簧質量』，
如果考慮物體質量與彈簧質量接近，
此時彈簧質量當然不可視為0。
我不知道您所指古典力學的彈簧並不是帶有質量的東西是啥意思，
彈簧和繩子是類似的，
我們常常在某些力學裡忽略質量是因為在那個問題裡，
由於質量極小，所以可忽略。
這不表示所有的問題裡，彈簧或繩子的質量都可以忽略。
更不表示彈簧或繩子是無質量的。
→ caseypie:古典力學就是沒有你說的現象 11/25 02:08
沒有哪個現象？
→ caseypie:滾動摩擦就是形變，不會對質心作功，對接觸面可是作很大 11/25 02:10
→ caseypie:照你的標準那根本算不得了 11/25 02:11
滾動摩擦不會對質心作功何意？
自行車之所以能加速，就是由於靜摩擦力的影響。
如果要把對質心作功定義為合力對質心位移的內積積分，
那麼理想上，腳踏車的質心動能變化就等同於靜摩擦力對腳踏車質心所作的功。
接觸面作用很大又是何意？跟我說的有關係？
滾動中造成的形變與動摩擦造成的形變完全不是同個層級的現象。
滾動的接觸面之間是相對靜止的，原子不必被強制改變相對位置。
因此產生的熱能理想狀況下是可以忽略的。
但是動摩擦力卻不同。
動摩擦力接觸面非相對靜止，表面的原子形同被強制性地撕離。
這個過程裡所導致的熱能極大。
計算不了又如何？這不是什麼嚴重的事。
重點在於你真正關心的量究竟可不可以算。
滾動中所導致的熱能，是可以被忽視的；
動摩擦造成的熱能則不可被忽視。
既然滾動的熱能，是可以被忽略的量，直接視為零即可。
這裡也沒有人說有形變就無法去做任何計算。
而是要看您想問的問題究竟為何。
您可以先參考Alonso或Serway在這方面相關的論述，
這樣若您覺得書中說法有問題或者是我有誤解，
我們具體討論才有共同基礎。
或者您直接詳述您的問題與前提及所引用的資料。
否則，推文中那樣子含糊的敘述，很難答起。
且您似乎沒有仔細看清楚我先前所述的內容，
這裡根本沒有人說會產生形變就不能作任何計算。
彈簧兩端繫上物體時，壓縮此一系統，會造成形變。
或者說造成狀態改變亦可（此時兩物體相對位置已改變）。
在這例子裡，無論彈簧本身的質量是否可忽略都沒有關係。
這裡只是要說明，這個系統的質心動能雖然沒有改變，
我們卻不能因此說外界對此系統是沒有作功的。
事實上外界對此系統所作的功恰巧以位能形式儲存起來。
而放手之後，這個系統會開始震盪。
而即便兩物體回到原本的相對位置時，此系統的總動能也不會同原來一樣。
也就是說這個系統的質心動能雖然沒有改變，系統的內動能卻增加了。
而且內動能的增加量，完全是不可以被忽視的。
這個例子可以再被推廣，如果外界所施的合力不為零，
作用之後不僅只是內動能會增加，就連質心動能也增加了。
而外界對系統所作之功等於系統總動能的變化，
也就是質心動能的變化與內動能變化的加總。
這情形可以類比到所謂的動摩擦。
動摩擦的過程也是極其複雜的，因為接觸面造成的熱能（即內動能），
過程中有內力和外力同時作用（假設對Ａ物體而言）。
這時候我們無法簡單地計算外力對Ａ物體所作之功。
特別是，在這個例子裡，兩接觸面上增加的熱能（即內動能增加），
就等於Ａ物體質心動能的減少量。
在合理的估計上，Ａ物體增加的熱能不會比斜面增加的熱能有過大的差距。
因此熱能的產生，對於Ａ物體的總能量而言是不可忽略的。
如果我們步將這個真正的機制考慮進去，
就無法解釋為什麼Ａ物體會有這樣子的總動能變化。(而非僅只是質心動能)
噓 usl2736:直接刪推文不就好了 11/25 07:52
閱讀板規對您而言真的很難嗎？
若您不能保持理性，給出實質的討論，
而只能在這裡隨意亂噓，就請離開。
yw1002 & usl2736 兩位請自重，勿再涉入與主題完全無關的推文。
推 yw1002:我已經想到怎麼處理N-manifold的滾動滑動問題了 11/25 10:24
你一再用錯誤觀念或毫不相關之推文，
大量的誤導及干擾板友的正常交流的進行，
這種鬧板行為已觸板規，請自重。
→ yw1002:矩陣分析的linear transformation 11/25 10:24
推 p112233:太搞笑了XD 11/25 13:58
推 henrypinge:yw1002會不會是自動推文的程式? 說話顛三倒四 11/25 16:21
推 TaiBeiGuo:喔喔，yw終於要po他的理論出來了，大家快看啊! 11/25 16:56
推 donod:我喜歡c大對yw1002的吐槽，簡潔有力！ 11/25 17:28
噓 usl2736:隨意亂噓，我笑了 11/25 17:45
→ usl2736:↑這才叫隨意亂噓 11/25 17:46
→ usl2736:我來看看本篇有幾個無關的推文 11/25 17:47
→ usl2736:Enxxxxx19xx 4個 11/25 17:49
→ usl2736:hyxxxxno 1個 11/25 17:51
→ usl2736:tryxxxxxxplz 3個 11/25 17:53
推 KDDKDD:樓上為什麼不算YW先生的推文 在這裡 YW才是不少人認為 11/25 18:00
→ KDDKDD:跟本文無關的喔 常常講一堆沒用的理論 又回答不了正題 11/25 18:01
→ KDDKDD:刪別人推文有不尊重的問題 難道US先生你不知道嗎？ 11/25 18:02
→ usl2736:willxxxxxx 1個 11/25 18:03
→ thewid:不懂 我們不是已經知道動摩擦力大小多少? 11/25 18:19
→ thewid:也知道位移 為什麼不能直接W=F dot S 去解呢? 11/25 18:19
您可以參考我回推文的內容，有比較詳細的解釋。
直接使用W=FS(如果這裡F代表合力,S代表質心)有個前提，
即是作用過程中，物體的內部狀態沒有改變。
動摩擦作用可以類比為一種碰撞的過程。
此時質心的運動已不再能考慮到內部的變化。
觀念上來說就是壓縮一個彈簧組(兩端繫有物體)所作之功，
不會直接等於W=FS（此時F=0,S=0）計算的結果。
而是必須個別地去計算物體被作之功再加總。
動摩擦力即是類似於此種機制的複雜版本，
巨觀上看起來合力雖然不為零，微觀上的區別卻導致不等效於單一力作用。
這點在國內的教材裡常容易被忽略，
美國的教材較少會去犯這種的錯誤。
請參考Serway: Physics for Scientists
Alonso: Fundamental University Physics
→ usl2736:ToxxxxJixx 1個 11/25 18:27
→ usl2736:casxxxie 11個 11/25 18:31
→ usl2736:rexxxx2 1個 11/25 18:33
→ usl2736:usl2736 持續增加中 暫不計算 11/25 18:35
→ usl2736:p1xxx33 hxnrxpxnge Taixeixuo dxxxd 各1 11/25 18:56
→ usl2736:KXXKXX 3個 11/25 18:57
→ usl2736:ywXXXXXX 懶得算 11/25 18:58
計算這些又有什麼意思呢？
物理板的板規是板主為了維護秩序所訂下的規範，
我們既然來到這裡討論就只能對此予以尊重。
這不就是參與討論的前提嗎？
如果你對板規有所不滿，
就請自行尋求正當管道向板主反應，
而不是在板友的文章底下隨意亂噓。
噓 usl2736:我只是很好奇各種無關推文卻只挑我回覆滿有趣的 11/27 07:36
你想太多了。
仔細找找，因無關推文而讓我回應的不只有你。
推文只要不是干擾板友正常交流或情緒挑釁，
我就不會特別回應。
而你的情況屬於後者，yw屬於前者。
跟你一樣的不只你一人，你也不是唯一被我回應的。
→ usl2736:是因為我沒說某Y的壞話嗎 11/27 07:36
因為你噓文內容不理智又無實質交流，
易挑起情緒、干擾、無助於討論、讓交流變質。
噓 usl2736:還有你既然這麼喜歡板規 板規有禁止無關推文嗎 11/27 07:38
→ usl2736:又或是禁止噓你呢 11/27 07:39
板規確實不歡迎你這種語帶挑釁地隨意亂噓
噓 usl2736:噢對吼我沒有對版規不滿窩，我只有對你的自以為是不滿窩 11/27 07:43
抱怨別人前，先檢討自己行為是否失當
一直對別人的提醒都視而不見，自以為是的恐怕是自己喔
噓 usl2736:葛格我盡量不想打你臉 你好好檢視自己的對話邏輯吧 窩ㄏ 11/27 11:52
你知道你的噓文內容打在自己的臉嗎
推 profyang:這是有啥好戰的... 11/27 12:20
推 ToMoveJizz:幹嘛這樣 11/27 20:02
推 alamabarry:形變跟熱的關係 感覺有點微妙 11/29 03:09
推 alamabarry:一般不是要特殊的材料才會有壓熱效應嗎 11/29 03:11
→ alamabarry:變形屬於應變能 如何轉化成熱能是否要更微觀才能解釋呢 11/29 03:12
用形變來形容動摩擦的過程可能不太洽當，
也許用非彈性碰撞來形容會好一些。
彈性碰撞在過程中也會產生形變，但是碰撞前後狀態會復原。
所以不產生熱能。
而動摩擦過程就好比非彈性碰撞的過程，
碰撞力對物體狀態造成的破壞，是不可逆的，所以會有熱能產生。
而動摩擦力作用的過程，顯然不可能會是彈性碰撞。
※ 編輯: condensed 來自: 49.216.163.78 (11/29 14:35)