推 yw1002:感謝有人把這題點出來.....很重要阿XD 03/15 13:02
→ lucifiel1618:Liouville 03/17 10:15
"動量勢"的圖像在幾何學裡面似乎是比較直觀的：
從動量勢可以解出 Lagragian 子流形，那個 S 稱為生成函數
有些做幾何表示論的數學家會把 Lagrangian 子流形看成 "量子點"
想成受到測不準原理的節制，如果在某一方向(比方說位置 q)是確定值
那麼在他的共軛方向(p)就會無限制的長出去，但他不一定是平直的
可以是彎彎曲曲的子流形，只要每點切空間都符合p即可。
至於辛流形這東西，其實很多謎題數學家也還沒有弄得很清楚
像是辛變換，由古典力學的 Lioville 定理可知辛變換一定是
相空間中的保體積映射，可是1985年Gromov發現了一件奇特的事情
叫做 Gromov non-squeezing theorem
說的是在 2n 維空間中 給定 r<R
則半徑為R的球體 絕對不可能經由辛變換(逐點正則變換)
嵌進半徑為r的圓柱體
這真的很奇怪，因為 Liouville 告訴我們辛變換是保體積的
但是 Gromov 告訴我們一個體積有限的球甚至無法經由辛變換
嵌進體積無窮大的圓柱體。 這個定理的原始證明非常艱深，
而且直到現在數學家也還沒弄清楚他的內涵是什麼。
有人認為這象徵一種"測不準原理" ， 或者是量子現象的幾何學表述....
※ 引述《pipidog (如果狗狗飛上天)》之銘言：
: : 請問各位大大，這有什麼比較好理解的方式嗎@@？
: 被召喚了,只好出來.前面提出了一些自己對於古典力學中action的看法,但那是我自己
: 的看法,談不上什麼觀念,也不是正規的表述.看不懂也就算了.古典力學最重要的表述
: 還是least action.這個觀念會一直推廣到量子,重力,光學.試著接受它!
: 我認識一位學純數,研究一些關於規範,叢理論,還有弦論這類問題的朋友討教過,問他有
: 沒有辦法對action給點圖像,結果它跟我侃侃而談起了數學上的辛形流之類的東西,企圖
: 說服我數學家已經很了解這玩意了,很多圖像早就給出來了.不過反效果!因為當下我就認
: 知到一件事情,action沒有具體的圖像! 至少沒有讓物理人容易理解的圖像!
: 我曾經好幾次跟一些同行談起了我自己對於古典力學中action的看法:
: 把S看作勢,把L跟H看作是粒子跟旁觀者看到的勢的時變,把HJ方程看作S的運動方程.
: 我很意外的發現,大多數的人聽到之後,都有一種"很舒服"的感覺,反駁我的很少,稱讚這
: 圖像很舒服的很多.其實別說它們,就連我自己都有這樣的感覺.後來我才發現,這種很舒
: 服的感覺,其來有自:
: "有一個物理量A,A的時間演化滿足一個微分方程f,給我邊界條件,我就可以解f得A"
: 這就是物理學家思考的邏輯,任何物理的表述,只要是滿足這個邏輯的,不管那個f有多
: 複雜,有多古怪,對物理學家來說,這個物理已經作完了.剩下的只是用解數值的問題.
: 但至於f的背後到底有什麼意義?回答不了,也講不出來!因為這就是"law"!
: 所以在這個點上,action就具有了啟發性的意義了!因為在我上面的微分的表述裡,HJ方
: 程沒有意義,它就只是一個"law".但如果你從積分來表述這個問題,H-J方程竟然有了幾
: 何意義! 它是滿足S為極值的路徑所導出的結果!在這裡,H-J方程不是公設,不是上帝之
: 手,更不是"law",而是粒子各種路徑中,千挑萬選,選出來的最好的那條路徑的特性!
: 如果看到這裡,還沒有震撼的感覺的話,趕快再去讀一讀古典力學!
: 很神奇不是嗎? 在微分的表述裡面,原本視為是公設的"定律",當我們嘗試用一種等價
: 的積分形式來表述的時候,這些"定律"竟成了某種直觀的幾何圖像的結果! 幾何,人類
: 對空間最原始的衝動! 自古皆然!
: 但如果是這樣,為什麼人類天生就對積分充滿著一種說不出的反感? 我的看法是,因為
: 一個用積分寫下的物理定律不符合直覺! 它會把我們習以為常的locality宇宙給弄成
: non-locality了! 古典力學的least action表示什麼? 表示一個粒子,要從A走到B,走
: 之間它必須先假想所有可能的路徑,這些路徑將會走遍整個宇宙,整個空間,每一個點,
: 每一個面,每一個不為人知的所在,然後在這些路徑裡面然後挑一條積分最小的來走.如
: 果把問題拉高一點,到了形而上的層次,這種因為積分所引出的問題就有得搞了.
: 我們會問:1.粒子怎麼知道他要走到B? 2.粒子憑甚麼事先知道哪條路徑積分值最小?
: 這些矛盾,是一個用微分形式寫下來的運動方程完全不會遇到的問題.但是一旦用積分
: 寫下來,一切都不一樣了.所以如果有這麼一天,你發現某個描述物理系統的微分方程
: 竟然存在等價的積分表述時,一定好好珍惜它背後的圖像,因為它們都是一種"合理的
: 荒謬!"
: 所以我常覺得,如果一個人讀了古典力學,卻不對裡面的原理感到疑惑,痛苦,矛盾,哪
: 表示你完全沒搞懂古典力學.古典力學是不可能讀懂的.因為這牽涉到的是時間空間
: 背後更深刻的本質,還有那些我們想不通,理解不了的許許多多晦暗的幾何特質.而古
: 典力學跟量子力學間那些許許多多的,令人講不清,參不透的對應關係,更是說不清的妙.
: 你喜歡non-locality的感覺嗎? 我不喜歡,而且我還有一個好夥伴,它叫愛因斯坦,他
: 也很不喜歡!
: 那麼最後的問題來了,古典力學無論積分也好,微分也罷,追根節底它們都是牛頓方程
: 的等價表述.所以回答這些問題,其實也就是在問,牛頓的運動定律,那個連國中生都會
: 算的F=ma,它背後究竟還暗示了什麼我們從來不了解的故事?
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