Re: [問題] 如何證明larange equation

[kanonehilber (我愛U-15!!!)]

※ 引述《iwantzzz (我愛大自然)》之銘言：
: 標題: [問題] 如何證明larange equation
: 時間: Sat Apr 26 09:43:48 2014
:
: 請問
: 因為我是第一次接觸lagrange equ.
: 我有找大學物理力學課本。但是符號太多且冗長
: 實在看不出真正意義是甚麼。 我想請問這方程式
: 真正的意義為什? 學這一條方程式是要學甚麼精神?
: 我還有一個問題是如何導出電磁場中帶電粒子的lagrange equ.
: 請問要去哪找資料呢? 謝謝。
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.237.116.101
: ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1398476630.A.842.html
: 推 zealeliot:最小作用量原理可以推 電學的話L項好像是猜的?           04/26 10:33
: → noonee:不要光學Lagrange equation要跟Hamilton's equations一起學  04/26 14:25
: → changifeng:它的意義是物體的真實運動是走作用量action最小的路徑   04/26 23:02
: → changifeng:定義action為Lagrangian對運動經過的時間的不定積分     04/26 23:05
: → changifeng:藉由變分法(action的變化量為0)得到Lagrange eq.        04/26 23:06
: → changifeng:在非相對論下自由帶電粒子在真空中的動能為(1/2)mv^2    04/26 23:09
: → changifeng:從電磁學得位能為電磁場中所儲存的能量由向量位勢表示   04/26 23:12
: → changifeng:已知在非相對論下Lagrangian定義為動能減位能則可導出   04/26 23:14

我想推文已經講得很清楚了，least action是一個很基本的原理，目前的物理(待查證)

都符合principle of least action，所以大家相信未知的交互作用應該也符合此原理

回到你的問題，學這條方程式的精神就是在遇到新交互作用的時候，我們可能知道她的

特性，但是找不到她的關係式，這個的時候我們可以猜測她的Lagrangian來想辦法湊出關

係式





帶電粒子在電磁場中Lagrange equation (人名 L大寫)

整個系統的action= free particle + particle與field的interaction + field這三個

action的和
                                                               2
在考慮charged particle時只需要前兩項，第一項懶的說，結果是-γmc ，看第二項

因為是interaction，所以應該要有兩方面的特性

簡單列一下
                                               α
particle: rest mass(m), charge(q), 4-velocity(U )

                    α                         αβ
field: 4-potential(A ), field strength tensor(F    )

從相對性原理可知action在任何座標系都要最小，或者說stationary，如果她是scalar的

話這個關係就不會隨座標不同而改變→action是scalar，結果是scalar的話基本上有兩種

狀況(1)本來就是scalar(包含光速(c)，interval(ds))，(2)tensor contraction

由實驗可知電磁交互作用和質量沒啥關係但是和q有關，又要有交互作用所以要同時有
                      α            α      α
方面的特性所以選擇A  U  而沒選擇A  A  或U  U
                   α            α      α

                           α            α
這樣湊一湊 Action = ∫qA  U  ds = ∫qA  U  (c/γ)dt
                        α            α

                         2
把因次湊成能量所以在除個c ，電位能是-eφ所以再加個負號
                    α
最後就變成 ∫(-qA  U  /cγ)dt
                 α
                   α                   → →
得Lagrangian=-qA  U  /cγ= -qφ + (q/c) v．A
                α

                                             2             → →
把她和前面free particle 那項組合起來就是-γmc -qφ + (q/c) v．A

做variation可得equation of motion也就是Lorentz force equation

再來要是把interaction term和field term組合起來可得Maxwell' equations

所以要是現在已經有實驗歸納出很多電磁交互作用的特性，但是還沒有辦法看出

Lorentz force equation和Maxwell' equations，可以從least action出發來想辦法湊出

來，其他未知交互作用也是同樣的道理

參考資料的話Jackson ch. 12和Landau vol. 1, 2吧

--
→ PlayStation3:我：我的主機板會喵喵叫耶。
→ PlayStation3:客服：喵喵叫？
→ PlayStation3:我：很長很長的喵阿，你學一次。
→ PlayStation3:客服：喵～～
→ PlayStation3:我：喔喔喔 太爽了，好萌阿。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.222.98
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1398531534.A.ACA.html
※ 編輯: kanonehilber (140.109.222.98), 04/27/2014 01:03:46
※ 編輯: kanonehilber (140.109.222.98), 04/27/2014 01:04:33