[請益] Binet eq, spiral and picard

[adu (^_^)]

※ [本文轉錄自 Math 看板 #1JcLAhGG ]

作者: adu (^_^) 看板: Math
標題: [物理] Binet eq, spiral and picard
時間: Thu Jun 12 15:11:35 2014



I have to solve the following physics questions.


Given binet equation:

set m = 1, r = u^-1, L=/=0 is angular momentum, v is angle

F(u^-1) = -(Lu)^2 * [(d^2/dv^2)u + u]
                     ^^^^^^^^^^derive two times

Given archimedean spiral:

r = a + b*v

Given the inverse cube force law:

F(r) = -(r^-3)

Show that:
1.use Binet eq to find a force law produces
  orbits in the shape of archimedean spiral.
2.use Binet eq to show the orbits of Cotes spirals when L^2 >1 or ==1 or <1
3.explain why archimedean spiral is not self-semilar,
  but logarithmic spiral (r=ae^bv)is.
4.consider the picard iteration, show if a solution X(t) is exact, then
  X(t) - Un(t) = o(t^n)






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※ 轉錄者: adu (134.3.109.85), 06/12/2014 15:13:28
→ HDT:我沒看到你寫出你的瓶頸在哪
1.如果直接把a+bv代入Binet會得到一個分母為(a+bv)^4的奇怪式子
2.可以得到二次微分項=-u(1-1/(L^2)) 接下來要如何討論形狀?
3.我用論述的方法說logarithmic spiral可以透過scaling或rotating得到另一個
  log. spiral，帶想要用較為數學的方法表示
4.想法是直接算解X(t)，再與Un相減，可自行解決。

※ 編輯: adu (134.3.109.85), 06/13/2014 00:53:04
→ wohtp:首先，這個Binet equation是你的系統的運動方程式，然後F(r)
→ wohtp:是系統受的力，這樣理解可以嗎？
→ wohtp:然後，你的問題(1)是要找一個force law，使得系統沿著螺旋走
→ wohtp:可是你上面已經把F(r)定死了。所以你是在問什麼？
→ adu:所以我應該是把其他東西帶入 最後求出a+bv形式的解?
→ wohtp:我不知道啊，我只知道你的題目照我的理解法有矛盾
→ wohtp:我稍微查了一下。 1/r^3 會給你 Cotes spiral，但是不可能
→ wohtp:產生Archimedean spiral，所以第一題的F(r)必須是其它東西
→ wohtp:我順手算出來了，不過直接告訴你答案太沒意思 XD
→ wohtp:建議你把變數改回r，會容易很多
→ wohtp:(2) d^u/dv^2 = ku 你總會解吧？k的正負號會有什麼影響？
→ wohtp:(3) 請先給一個你覺得夠數學的self-similarity的定義
→ adu:是 1跟2是分開的 只是都要用Binet導
→ adu:u = (kuv^2)/2 ?   方向不同嗎?
→ wohtp:你不覺得 u = u * (k v^2 / 2) 看起來很詭異嗎...
→ wohtp:什麼東西微分兩次會變成自己的倍數？
→ adu:XD 我解出來了 謝謝w大!