Re: [問題] 一題高中物理

[kuromu (kuromu)]

長繩局部一小段的動能是(1/2)λΔx (∂y/∂t)^2

其中λ為線密度, y(x,t)為質點振福

局部一小段的位能則是TΔs,T為張力,Δs為繩伸長量

TΔs又可表示成(1/2)T(∂y/∂x)^2Δx

所以(1/2)λΔx (∂y/∂t)^2 + (1/2)T(∂y/∂x)^2Δx

就是長繩局部一小段Δx攜帶的總能

會因為局部一小段左右兩端點的張力作功 而使得能量進入又離開

張力做功的功率就是 T(∂y/∂x)(∂y/∂t)

兩端點各自功率的和 即為單位時間內進出那一小段的總能

另外若y(x,t)可表示為f(x-vt) , v為波速√(T/λ)

則 ∂y/∂t = -v (∂y/∂x)

由以上條件即可求出題目答案



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推 j0958322080: 高中可不會偏微分啊.......
→ musicbox810: 請問(1/2)T(∂y/∂x)^2Δx是怎麼來的?
→ musicbox810: 將你的總能除以delt得不到功率 T(∂y/∂x)(∂y/
→ musicbox810: 可以請k大解釋一下功率T(..)(..)是怎麼算出來的嗎?
→ ntust661: XD
Δs=√[(Δx)^2+(Δy)^2]-Δx ~ { √[1+(∂y/∂x)^2] -1}Δx

       (繩波會用到∂y/∂x很小的條件)  ~ { [1+(1/2)(∂y/∂x)^2] -1}Δx

                                      = (1/2)(∂y/∂x)^2Δx

                                       2   2       2   2
功率一般化的推導可從波動方程式出發:λ ∂y/∂t = T ∂y/∂x

                                  (可從質點之間以輕繩相連的模型,
                                   加上∂y/∂x=tanθ~ θ ~sin θ
                                   的近似推出方程)

方程左右同乘∂y/∂t,並作一番整理可得:

∂E/∂t = T(∂y/∂x)(∂y/∂t)|   +   [- T(∂y/∂x)(∂y/∂t)|  ]
                            x=x2                          x=x1

                                 (負號因兩端點張力方向相反)

            x2
其中 E =  ∫  [(1/2)λ(∂y/∂t)^2 + (1/2)T(∂y/∂x)^2] dx
            x1

直觀解釋可畫出質點+輕繩做分析 (應用tanθ~ θ ~sin θ)

T(∂y/∂x)(∂y/∂t)就是 張力和(位移)速度兩個向量的內積

※ 編輯: kuromu (36.236.242.84), 07/24/2018 22:37:56
推 musicbox810: 謝謝 待會研究一下
→ musicbox810: 懂了，謝謝囉