Re: [問題] 機率問題

[LPH66 ((short)(-15074))]

※ 引述《Sany (小美眉)》之銘言：
: 以前玩過一個遊戲,
: 規則是這樣的...
: 猜拳贏一次得一分，平手不影響分數，輸一次倒扣一分至０分為止
: 你得五分則本局勝利與結束，你猜輸三次則本局失敗與結束
: 我覺得那真是很難贏的遊戲,
: 後來想算算贏的機率,
: 但都沒人會算,
: 我只好自己用程式試,
: 玩10萬次的勝率是13.02%
: 不知道有沒有人能列式算出勝率呢?
也就是這樣:

每次有 1/2 的機會 +1 和 -1

(不看平手  因為對得分無影響

 以下討論都去掉平手)

如果出現三次以上 -1 就是失敗

正負抵消後≧5 就是勝利

那麼分情形計算:

(1) 直落五結束: 這機率是 (1/2)^5 = 1/32

(2) 輸了一次:

(2a) 中間沒被扣到負的過: 一共是六勝一負  不能是 2b 的情形

     (ie. 第一把不能輸)

     所以共有 6 種可能  總機率為 6*(1/2)^7 = 6/128

(2b) 中間曾經可以扣到負的過: 只可能是輸一次後直落五  機率為 (1/2)^6 = 1/64

(3) 輸了兩次:

(3a) 中間沒被扣到負的過: 一共是七勝二負  不能是 3b 的兩種情形

     (ie. 第一把不能輸  二三兩把也不能連敗)

     所以共有 C(8,2)-1 = 27 種可能  總機率為 27*(1/2)^9 = 27/512

(3b) 中間曾經可以扣到負的過:

(3b-1) 第一把輸了: 這就等於所有 (2) 的情形 (前面多輸一把)

       故機率為 (6/128+1/64)/2

(3b-2) 第一把贏了: 只可能是贏一把後連輸兩把再直落五  機率為 (1/2)^8 = 1/256

所以勝利的機率為 1/32 + 6/128 + 1/64 + 27/512 + 6/256 + 1/128 + 1/256 = 93/512

約是18.16%

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粗看以為是醉漢過河問題...結果發現不太一樣 @_@

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.28.92
※ 編輯: LPH66           來自: 140.112.28.92        (03/07 19:03)
→ AmosYang:我寫程式去跑一百萬次，勝率也是在13%上下...
→ tkcn:我的程式則是 11% @@a
→ AmosYang:我想我想通了…七次輸贏定勝負…
→ AmosYang:我想我之前以為想通是錯的了…                       XD
推 Sany:我回一下2a,第一把可以輸呀,因0分不能再扣了唷
→ tkcn:唔，我沒注意到上面這條件
→ tkcn:改過之後我的程式也是 13% 了
→ AmosYang:0.1328125
→ AmosYang:0.130859375  這個應該沒錯了
→ AmosYang:解出來了，但有一種"輸了"的感覺，因為我是一項一項列出
→ AmosYang:慢慢加;一開始原本以為DP建表直接算就好，結果答案出
→ AmosYang:來差十萬八千里…    <囧>
→ AmosYang:<囧><囧><囧><囧><囧>
→ AmosYang:事實上之前DP解法的方向是對的，但有一個小typo...
→ AmosYang:總之…DP解、暴力解、模擬解三管齊下…那答案應該是正確
推 Sany:dp解系啥米?
→ AmosYang:dynamic programming
→ tropical72:請教 A 大,七次定勝負, 中間的合局都不用考慮嗎?
→ LPH66:>>5(Sany) 所以我才分2b出來  因為那只有五勝一負
→ LPH66:>>18(tropical72) 他有說是七次「勝負」喔
→ AmosYang:不，七次定勝負那是有個瘋子在胡說八道
→ AmosYang:這遊戲的勝率確實是 0.130859375
推 Fenikso:(2a) WWWWWWL和WWWWWLW也不行 因為早就贏了
→ Fenikso:3a同理
→ LPH66:感謝指教  (原本我是想下午上完課來找錯的 XD)