Re: [問題] 非整數根號問題

[LPH66 (-858993460)]

※ 引述《tropical72 (藍影)》之銘言：
: 我知道有直式開根號方式可以加快開根號之速度
: ex: 2^(1/2), 2^(1/3)... etc
: 如果次方數是非整數的東西，像是
: (1.5)^(1.3217) 類似，
: 這在數學上是怎麼算出來的？
: 請各位先進不吝解惑
: 謝謝各位，感激不盡!!
其實意思一樣...

基本概念都是想讓它滿足指數律
                                                      10
也就是說 2^1.3 = 2^1 * 2^0.3 = 2^1 * 2^(3/10) = 2^1 * √(2^3)

大概像這種感覺

從這裡我們定義出了有理數次方

但是只有有理數次方是不夠的  要讓指數是任意實數的話還得定義無理數次方

數學家們發現了一個函數叫 exp    (它長的很像複利的式子, 加了個 lim)

它滿足一個和指數律很像的規律 exp(a+b) = exp(a) * exp(b)

進一步研究發現了它其實就是以尤拉常數 e = 2.7182818284... 為底的指數函數

而其反函數 ln 也意外的有著一個特別的性質  (它的微分很漂亮)

這使得若將 exp 和 ln 以這種方式定義的話

它會和指數的「乘幾次」這個概念切離開來  但仍然滿足指數律

因此我們便能夠反過來使用這個定義

以在 b 為有理數時成立的式子 a^b = exp(b*ln(a))

回頭來定義 b 為無理數時 a^b 的值  而不會遇到要怎麼處理無理數的問題

這便是我們所熟知的指數/對數函數了  exp 和 ln 也因此被叫做自然指數/自然對數函數

以上所提到的式子的詳細定義及證明去翻任何一本大學微積分的書都會有

想要細讀的話可以去找來看

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簡單說就是, 到一個地步之後的指數運算其實是由微積分定義出來的...

有些微積分的書會從 ln 那個微分很漂亮的式子開始定義對數

有些微積分的書則是從那個很像複利的式子開始定義指數

兩個定義是可以證明為等價的

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◆ From: 140.112.28.92
→ tropical72:謝謝 LPH之詳細解說,可能我對我的問題前述沒有很清楚,
→ tropical72:我主要目的是拿來做大數運算,所以您其中所提及之
→ tropical72:a^b=e^(b*(lna))，e可查詢得知,但ln運算似乎又牽扯了
→ tropical72:另一數值分析之方式.還是這方面的數值分析一定要用到
→ tropical72:taylor展開式之類的呢？謝謝您不吝的指教與回覆
→ bleed1979:大數除法不能整除就自行補0，補0的個數紀錄起來。
→ LPH66:ln 的話也許可以從 ln(x) = ∫dx/x 下手
→ LPH66:(這就是文中那個很漂亮的式子)
→ LPH66:雖然我不知道大數做積分有沒有什麼特別的事情要顧...
→ tropical72:嗯..我先翻一翻以前的微積分找靈感好了.謝謝您指教我
→ tropical72:這麼多,給我那麼多方向,再次感謝.有問題將再次請教 ^^