作者chubiei (:))
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標題Re: [問題] 多個圓的圓徑比例？
時間Thu Jul 21 01:53:41 2011
※ 引述《mabus (CodeINCEPTION)》之銘言：
: 圖：
: B=3，即B為三個圓。
: http://0rz.tw/CT1O1
: B=4，即B為四個圓。
: http://0rz.tw/ZqYOv
: 解說：
: B=5，即B為五個圓；同理，B=6為六個圓。
: B=N，即為N個B圓，C、D的圓個數，相依於B；
: 若A的圓徑為X，在3<=B(個數，非圓徑)<=N範圍時，求B、C、D、E的圓徑比。
: 例如：A:B:C:D:E|B=3(B的圓個數為3) = 1: 2: 2/3: 3/4: 4/5
: (胡謅的，別真的拿來用呀...)
: 問題：
: 圖中包含A,B,C,D,E五種圓，設圖中B圓的個數為3～N。
: 且由圖上可以知道圓的個數，當B為3個圓時，
: 可知C亦等於3個圓，D為6個圓，
: 即圓 個數比 為，B:C:D=3:3:6，
: B為4個圓時，則B:C:D=4:4:8，
: B為5、6、7、8...N時，即B=3～N，
: 求出A,B,C,D,E五種圓的圓徑比例(直徑或半徑)及圓周比例。
: 上面圖的連結分別是B為3和4的時候，其中圓與圓之間皆為相切。
: 這問題不知放這妥不妥，若是不好還請大家包涵。
: 感謝各位！
設 A 的半徑為 1
求B:
若 B=n 則將所有B圓的圓心連起來
就一定會成為正n邊形
其中每邊邊長為 2 x r_b (B的直徑)
而圓心到正n邊形頂點的距離為 1 - r_b (1 - B的半徑)
由以上關係可以快速導出B的半徑為 sin(pi/n) / (1 + sin[pi/n])
求 E:
2 x r_b + r_e = 1
r_e = (1 - sin[pi/n]) / (1 + sin[pi/n])
求 C:
也一樣注意到 若 B=n 則 C 也是剛剛好為n個
因此若連接 A圓心(a), B圓心(b), 以及 C圓心(b)
會形成一個三角形 abc
其中 線段ab = 1 - r_b, 線段ac = 1 - r_c, 線段bc = r_b + r_c
而且 ab 和 ac 的夾角剛剛好是 pi/n
利用餘弦定理:
(bc)^2 = (ab)^2 + (ac)^2 - 2(ab)(ac)cos(pi/n)
再加上將 r_b 帶回
可以求出
r_c = (1 - cos[pi/n]) / (1 + 2sin[pi/n] - cos[pi/n])
(希望沒算錯XD)
求 D:
求 D 應該是最困難的一部分了...
連接 A圓心(a), B圓心(b), 以及 D圓心(d) 得到三角形 abd
再在隔壁連接 A圓心(a), C圓心(c), 以及 D圓心(d) 得到三角形 acd
注意到這兩個三角形的邊長都是已知:
ab = 1 - r_b, ad = 1 - r_d, bd = r_b + r_d,
ac = 1 - r_c, cd = r_c + r_d
因此可以算出 角bad 以及 角cad 的餘弦值 (一大串帶 r_d 未知數)
最後利用 角bad + 角cad = 角bac = pi/n 的性質
可以利用和角公式把 r_d 解出來
D 超難算.................
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◆ From: 118.160.168.201
→ firejox:(worship) 07/21 02:24
→ firejox:我想到怎麼導D了 雖然也很醜... 07/21 02:39
→ firejox:以B C外公切線交點(外相似點) 對於A與D的外冪值是一樣的 07/21 02:42
→ firejox:喔不 請忽略樓上以及樓上上 07/21 02:44
推 tropical72:c大好強!! 昨晚我一直在想怎麼「畫」出來,都忘了根本不 07/21 03:11
→ tropical72:用再算 b/c/d 的圓心到底在哪 07/21 03:11
推 mabus:昨天想到一個，是不是可以使B個數趨近於無限，A、E這兩個圓 07/21 07:22
→ mabus:就會趨近於直線，然後再求出B、D、E的比例，可是之後我又不 07/21 07:23
→ mabus:知要如何修正回來，修成小於N、大於3的範圍裡...。 07/21 07:24
→ firejox:原來用笛卡兒定理就可以了... 07/21 12:16
推 tropical72:這..原來我不會用 google XD 07/21 16:18
→ firejox:可能要用阿波羅尼斯圓搜尋才可能找的到 07/21 18:36
→ firejox:這是四圓相切問題.... 07/21 18:37