Re: [閒聊] 好奇...轉方塊的大家

[terrorlone (星君)]

我來稍微解釋一下

首先，魔術方塊的狀態並不是有限體，
而是有限非交換群（finite non-Abelian group）

體一定有兩個運算而且必定滿足交換律，
可是魔術方塊只有一個置換之間的合成運算，
而且明顯不滿足交換律：RU 跟 UR 的結果絕對是不同的。
普遍地，作用在一個物體上的置換群大抵都是不交換的。

不過這不太重要，因為看起來你只是搞混名詞而已。

這於同一種轉法不斷反覆到最後一定會復原，
以最通俗的方式來證明的話，確實只要利用狀態有限這個事實就可以說明。
令考慮的轉法為 A，因為狀態有限，一定遲早會遇到一個之前曾經出現過的狀態，
不妨假設為 A^n 和 A^m，n>m。那麼 A^(n-m) 就必定是不動置換。

不過進一步證明的話，還可以證明復原所需要的次數一定是總狀態的因數。
這是 Lagrange 群定理的一個古典推論。

最後，你提到是否有可能有單一一種轉法能夠生成所有的狀態，
這對有限群一般而言都不存在，包括這邊的魔術方塊在內。
具有這種性質的群稱為循環群（cyclic group），而且極易證明循環群全都是交換群，
因此立刻就知道魔術方塊群不可能是循環群。

至於你提到的與群的狀態數互質的那個概念，
那是在已經假定是循環群的前提下才會成立。

所以：無敵公式是不存在的，別找了……

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.250.203
推 PhySeraph:哩工蝦?
→ raytw1986:淺見 3X3是有限體....很早就有人證明了~"~ 循環群~不詳
→ raytw1986:數學系的~~~~衝吧..........我土木來亂的
→ terrorlone:正如我說的，說它是體打從定義開始就是錯的，絕無可能
→ terrorlone:另外，不巧我正好就是數學系的
→ terrorlone:還有其他疑難雜症請參閱 http://0rz.tw/e42I0
推 rehearttw:推數學系專家！
推 rehearttw:請教「存在一個數值 k，所有可重複循環的次數均為它的
→ rehearttw:因數」這個推論，是否在群裡面可以簡易證明？抱歉我忘了
→ terrorlone:簡單的說那個 k 就是群的大小
→ terrorlone:如果是循環群的話，結論幾乎是顯然的
→ terrorlone:一般的情況會稍微多一點，大概證個一兩頁吧
推 daleleu:看rubiks版長知識
推 rehearttw:我覺得如果是三階方塊，因為並不是循環群，所以這個 k值
→ rehearttw:應該小於總 case 數，不過應該存在這樣的 k。我懷疑 k
→ rehearttw:會不會等於 1260？（尚待證明...）
推 ForeverOrz:推這篇   解釋得很清楚XD
推 rehearttw:我剛剛試了一下，k 目前是 5040
推 bb511:推這篇 解釋的很清楚       但是哩公蝦~? XD
推 bbrret:囧  那樓上在推啥..
推 zarld:u:看rubiks版長知識
推 rehearttw:嗯！這是數學系學的代數，在進行計算之前可以確認想法
推 PhySeraph:  看rubiks版長知識
推 twmstudentkf:阿偉:異類你什麼系的  異類:商用數學系阿~~
推 kerbi:推  數學系+1  難得看得懂 哈哈
推 daleleu:rubiks版還有一個交大應數博士的DavidGuo, 真是臥虎藏龍
推 SansWord:循環群都是交換群???
推 XII:是的!