Re: [問題] 方塊貼貼紙的機率問題

[rehearttw (易懷)]

※ 引述《blausea (   )》之銘言：
: 推文太累，.......
: 這樣說好了，先將問題簡化，
: 如果考慮用 3 個白色的貼紙， 和 3 個黑色的貼紙，
: 去貼一個 1*1*1 的立方塊，
: 按照上面的邏輯，
: 方法數應該是， 6!/(6*4*3!*3!)
: 但，這個數不是整數啊，
: 所以，那樣的算法是有問題的。
: 他的方法數其實只有兩種。
: 會發生問題，是在於因為有相同的色塊，
: 會造成某些時候，圖形有對稱，要分開討論。
: 可是，對原來的問題而言，
: 要討論，他的情形有太多種了，
: 討論絕對不是一個好的方法。
: 所以，.....我就不會了。

當有數學專家來解答時，答案就會豁然開朗
感謝 blausea 數學老師的指點
還有板上各位高手的引導
這樣大家就越來越厲害！

本來我是不想碰這一題，因為我知道我算不出來
其實我是可以算出來的，但是 CASE 相當多
要分類處理很花時間
但是高手都出來討論了，我也來提供我的想法

首先，我要問一個環狀排列的問題

6 個人排成一列，為什麼是 6!/6 = 5! ？







理由高中課本上都有寫，只考慮左右，不考慮位置
所以 ABCDEF 跟 BCDEFA、CDEFAB、DEFABC、EFABCD、FABCDE 這六種在環狀中視為相同
「每六種視為同一種」，所以 6!/6
這裡有個關鍵：「每六種視為同一種」

如果題目改成 A A B C D E 環狀排列呢？
那就沒這麼簡單了

有人想，是不是 6!/6/2 呢？（想想看....）



關於立體的環狀排列
最典型的題目是：用六個不同顏色去塗一個方塊
每面用一種顏色，而且顏色均不同，共可能塗出幾種方塊？

這題的答案是：6! / 6 / 4
除以 6 大家都知道，除以 4 可能有人就有疑惑了

其實環狀排列除了「旋轉法」之外，還有「定位法」
就是固定某一面（或某一人）不動，考慮其他的排列法

所以除以 6，其實是固定某一面（例如白色）在上面 U
這時候剩下的五面的環狀，就會變成 5! / 4
注意是除以 4，不是除以 5（不是隨便套公式）
是因為前面 F 面有 4 種旋轉可能性
頂面 U 固定了，底面 D 是不會跑到 F 的

同樣的，如果題目改成
用 5 種顏色塗方塊，其中白色用兩次，其他顏色各用一次
可以塗出幾種方塊？


各位可以發現原來題目的困難度，在於除以幾...
為什麼要除以 6，除以 4？
是因為 6 或 4 種環狀視為相同
但是，加入有同樣顏色的可能性之後
就不是單純的除以 6 而已

如同 blausea 老師所說
3 黑 3 白塗一個方塊，是 6!/(6*4*3!*3!) 嗎？
這樣，就太過簡化這個問題了，答案也是有問題的
問題在於沒有考慮相同顏色
也就是 blausea 老師說的「圖形有對稱，要分開討論」

所以我先以我的想法，來解 3 黑 3 白的問題

頂面放黑色（你要放白的也可以）
接著底面可以有黑、白兩種選擇
(1) 若選黑，剩下 1 黑 3 白塗 F R B L 面，只有一種可能
(2) 若選白，剩下 2 黑 2 白塗 F R B L 面，有 2 種可能（黑相連、黑白間隔）
所以答案就是 3 種囉？

很抱歉！答案是錯的！
實際上只有兩種：三黑一直線、三黑均相連 兩種
但為什麼上面 (1) (2) 加起來會有3種呢？（這就是公式考慮不到的地方）

因為 (1) 的答案，必為「三黑一直線」型
而這種會在 (2) 裡面出現
所以不能僅由公式或傳統算法來分類而已
意思就是說，不要想只有一個式子就把答案算出來


最後提出一題手環題，就可以知道原始題目的困難度

拿七個一樣形狀大小的珠子：黑 黑 白 白 紅 綠 黃
串在一條繩子上當手環，總共可以串出幾種手環？

（這兩天監考，有東西可以想了）

--
魔術方塊精神：
         有一種感情，叫做友情          能虛心請教是尊敬
             道盡所知是專業                為自己努力不懈，是恆心

                                                 ~~ 易懷 Reheart

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 124.8.88.253
推 XII:可以用Burnside's formula~(手環那題G=D_7 dihedral group)
推 blausea:對不起，請問一下Burnside's formula是什麼？
→ rehearttw:我很久以前好像聽過，似乎是環狀排列的錯為排列
推 puzzlez:手環似乎沒有對稱排法? 6!/(2! * 2! * 2) =90
→ blausea:手環有翻轉，有對稱，...考試我會叫學生先跳過......
→ blausea:所以，跳過吧..............
推 puzzlez:90 不對啊? @@" 數學真是奧妙...
推 blausea:我沒認真算啦，不知道對不對，力氣都用盡了.......