[閒聊] 96年指定考科數甲詳解

[idooo (一冷之下萬人之上)]

這是自己寫的  所以有錯的話歡迎大家指正

選擇題

一  1. 1
    | 1-z | = 根號 { [ 1 - cos(2π / 7) ]^2 + [ sin (2π / 7) ] ^2 }
            = 根號 { 1 - 2cos(2π / 7) + [cos(2π / 7)]^2 + [sin(2π / 7)]^2 }
            = 根號 [ 2 + 2cos(2π / 7) ]
            = 根號 { 2 * [ 1 + cos(2π / 7) ] }
            = 根號 { 2 * 2 * [ sin(π / 7) ]^2 } = 2sin(π / 7)
    (感謝shtmn指正)
    2. 4
    當x→1時∵3 - 3x - x^2 = -1 < 0
            ∴ | 3 - 3x - x^2 | = x^2 + 3x -3
    =>原式 = (x^2 + 3x - 3 - 4) / (x - 1) = x + 4
    ∴當x→1時，原式 = x + 4 = 1 + 4 = 5
    3. 5
      loga1 + loga3 + loga5 + loga7 + loga9
    = loga1 + log(a1 * r^2) + log(a1 * r^4) + log(a1 * r^6) + log(a1 * r^8)
    = log(a1^5 * r^20) = 5 + 5log2 = log(10^5 * 2^5) ----(1)
    同理
      loga2 + loga4 + loga6 + loga8 + loga10
    = log(a1^5 * r^25) = 5 + (15/2) * log2 = log(10^5 * 2^(15/2)) ----(2)
    (2) - (1) 得 logr^5 = log 2^(5/2)  =>  r = 根號2
    代回(1)式可得a = 5

二  4. 1345
    (2) 相關係數太低，所以不適合用直線表示
    (註：第二個選項我不確定是不是因為這個原因所以不選)
    (3) (4) (5) X，Y分別同加、同減、同乘某數，皆不會影響相關係數
    (註：以下兩行為waterworld0補充)
    這樣解釋可能會有點問題... 應該是說 x, y的相關係數如果是r
    ax+b,  cy+d的相關係數等於 r * ac/|ac|
    (註：再次感謝waterworld0提供的解釋)
    5. 34
    (1) P(x) - 2 = Q(x) * (x-3)  ∴不會有共同實根
    (2) 不一定，可能唯一可能多個
    (3) P(x)在 x > 3時遞增，所以P(x)除以(x-4)的餘式大於2   (感謝DCT2指正)
    (4) 承上，因為P(x)不可能有大於3之實根，又五次實係數多項式至少有一實根
        故一定有一小於3之實根
    (5) 不一定，可能剛好是2，也可能不是
    6. 235
    四個式子化簡後分別為：
    3x - 9 = 2y - 10  =>  3x - 2y      + 1  = 0
     y - 5 = 3z - 12  =>        y - 3z + 7  = 0
     x     = az - 2a  =>   x      - az + 2a = 0
     y + 1 = 3z -  6  =>        y - 3z + 7  = 0
         | 3  -2   0 |
    △ = | 0   1  -3 | = -3a + 6
         | 1   0  -a |
    △x = -42a   △y = -3a + 3   △z = 6a - 15
    此方程式有解 => a不能等於2
    同時此方程式有唯一解 (x,y,z) = (△x/△,△y/△,△z/△)
    (3) (4) (5) 任兩個平面有無窮多組解
    (感謝DM24Tim指正)
    7. 245
    A是對x軸鏡射，B是旋轉60°，同時A^2 = I
    (1) 先鏡射再旋轉不會等於先旋轉再鏡射
    (2) A^2B = B ， BA^2 = B
    (3) A^11B^3 = AB^3 = 鏡射後旋轉180°
        B^6A^5 = B^6A = 旋轉360°後鏡射 = 鏡射   兩者不同故不選
    (4) AB^12 =  鏡射後旋轉720° = 鏡射
        A^7 = A = 鏡射
    (5) (ABA)^15 = ABAABAABAA.....BA = ABBBBBBBBBBBBBBBA = AB^15A
    (註：bbs打不出上標，本題暫用次方表示法代替)
    8. 345
    y' = 3x^2 + 2 > 0  故y為遞增函數
    (1) 遞增函數所以沒有最高、最低點
    (2) y'恆大於0 所以沒有水平切線
    (3) 遞增函數所以與任一水平線皆恰有一交點
    (4) (a,b)代入y得 b = a^3 + 2a + 3
        -a代入y = x^3 + 2x +3之x得 -a^3 + -2a + 3 = 3 - b + 3 = 6 - b
    (5) 將y對x=0到x=1積分可得其面積 = 17 / 4 > 4

三  A. 5 / 21
    ( 5/50 ) / ( 1/50 + 2/50 + 3/50 + 4/50 + 5/50 + 6/50 ) = 5/21
    B. (a,b,c) = (10 , -6 , 9)
    過(1,6)且與直線4x + 3y - 14 = 0垂直之直線為 3X - 4Y  + 27 = 0
    (-2,7)和(1,6)之中垂線為 X - Y + 8 = 0
    兩者解聯立可得圓心(X,Y) = (-5,3)，半徑r = 根號[ (-5+2)^2 + (3-7)^2 ] = 5
    圓之方程式 = (x+5)^2 + (y-3)^2 = r^2 = 25
    展開之後可得(a,b,c) = (10 , -6 , 9)
    C. 12
    令底邊邊長a，高h
    表面積 = a^2 + 4ah = 432  =>  h = (432 - a^2) / 4a
    體積V = a^2*h = a^2 * (432 - a^2 ) / 4a
                 = -a^3 -432a
    對a微分得-3a^2 -432 = 0 (極值發生時=0)
    a = ±12 (負不合)
    (另一解法，算幾不等式，感謝DCT2)
    欲求之體積V = a^2*h
    表面積 = a^2 + 4ah
           = a^2 + 2ah + 2ah = 432
    (a^2 + 2ah + 2ah) / 3 > ( a^2 * 2ah * 2ah )^(1/3)
                  432 / 3 > ( a^2 * 2ah * 2ah )^(1/3)
      ( a^2 * 2ah * 2ah ) < 144^3  ← (極值發生時，a^2 = 2ah = 144 => a=12 )
           ( 4a^4 * h^2 ) < 12^6
           ( 2a^2 * h   ) < 12^3   =>   a^2 * h < 864
    (註：本題另解中的大於及小於，請自行加上等號變為大於等於及小於等於)

非選擇題

一  (1) -2,3,5
    由牛頓因式檢驗法可得
    x = ±1 ±2 ±3 ±5 ±6 ±10 ±15 ±30  慢慢試
    找出其中一個之後再因式分解即可得解
    (2) 15根號3 / 28
    c^2 = a^2 + b^2 -2abcos120°
        = 3^2 + 5^2 -2*3*5*(-1/2) =49  =>  c=7
    BE = AB - AE = 7 - 5 = 2
    AD = AB - BD = 7 - 3 = 4
    DE = AB - AD - BE = 7 - 4 - 2 = 1
    △ABC面積 = (1/2) * a * b * sin120° = 15根號3 / 4
    △CDE面積 = 1/7 △ABC面積 = 15根號3 / 28
二  (1) x+y+z-20=0
    (參考udn解答)
    AB向量(1,3,-4)，AC向量(1,0,-1)
    法向量 n = (1,1,1)
    令平面x+y+z+k=0 代入 (10,7,3)可得k=-20
    即該平面為x+y+z-20=0
    (2) (3,9,8)
    到A,C等距 (x+2)^2 + (z-15)^2 = (x-10)^2 + (z-3)^2
    4x + 4 -30z +225 = -20x + 100 - 6z + 9
    24x - 24z + 120 = 0  => x - z + 5 =0
    到B,C等距 化簡可得 x - y + 6 = 0
    此二式和(1)所解得之平面方程式三式解聯立
    便可得到(x,y,z) = (3,9,8)

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