[心得] 清大數學(應數)筆試

[secjmy (大雄)]

今天請公假去清大玩XD

其實是去考應數的筆試

筆試分成兩部分，第一部分9:00~10:20，第二部分10:40~12:00

第一部分寫完，大家似乎都很開心，等到第二部分寫完，每個人都帶著殺氣出來XDD

而且我聽說應數的題目好像跟純數的一樣(有純數考生家長來問我)

以下是筆試題目

第一部分

1.設α=(5+√29)/2
 (1) 請找出一領導係數為1的有理係數多項式，使得f(α)=0。
 (2) 求α^6-5α^5-5α^3-2α^2+7α+3。 (14%)

2. 若有一三角形的三邊長滿足1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)，證明此三角形有一個角為
   60度。 (14%)

3. 有一拋物線與一正三角形的其中兩邊相切，若此正三角形的邊長為1，求拋物線焦距。
   (14%)

4. x+2y+z=12
   2x+3y+z=17    此方程組恰有一組解，則k=? (14%)
   x^2+y^2+z^2=k

5. 有一四面體A-BCD，AC=AD=BC=BD=5，CD=6，設AB=x
 (1) 求x的範圍。
 (2) 求此四面體的體積最大值。

6. 有一等差數列a1,a2,a3,...,a51，且a1+a2+...+a51=-51      ，求公差。 (15%)
                                   a1^2+a2^2+...+a51^2=493

7. 有一個四位數abcd，ab是偶數，abc是3的倍數，abcd可被4整除，則abcd有幾種可能?
   (14%)

第二部分

1. 試證明1/√1+1/√2+...+1/√n>2(√(n+1)-1)在n為任意正整數時恆成立。 (14%)

2. 若x是實數，sin^6(x)+cos^6(x)+asinxcosx≧0恆成立，求a的範圍。(14%)

3.
 (1) A=[1 1/3]，求A^n。
       [0 1/3]
 (2) 有兩數列<an>和<bn>，a(n+1)=an+bn/3，b(n+1)=bn/3，請用n表示an和bn，並求
     lim an 和lim bn。 (16%)
    n→∞    n→∞

4. 若{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}，求2^x*3^y*5^z的最大值。 (14%)

5. 一點(0,3/2)，一曲線8y=x^4，求點到曲線的最短距離。 (14%)

6. 甲乙輪流擲骰子，擲出的點數加到k(k從0開始)，先讓k成為7的倍數的人獲勝，求先擲
   的人獲勝的機率。 (14%)

7. p^2+3q^2=11907，求p,q的整數解。 (14%)

一開始考完第一部分還想說怎麼可能那麼簡單，這樣60人要怎麼正取14個，果然第二部分

超難，每個人走出來都擺臭臉XDD

下禮拜四16:00就要放榜囉，不曉得有沒有辦法正取

第一部分我只有第6題不會算，第二部分我只會算第2 3 5 6題

話說這幾天偷學大一的東西果然有用，像是第二部分第5題我就用f(x,y)對x微分來求XD

結果第二部分第3題原本想用eigenvalue做，後來發現A好像不能對角化，怎麼算都不對..

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.118.196
→ fanif:大雄欸 你題目也背的太詳細
仔細看帳號才發現原來是你XD
→ LoveMR2:有吃記憶土司
我都覺得我漏很多了= =
沒有其他人考清大數學了嗎? 想說可以請其他人幫我補完XD
推 luke2:11907=3^5x7^2
→ luke2:這是第二部分最後一提的數字   第二部分真的超難
→ luke2:看一下  好像真的一樣耶  我是純數的
謝謝，那你還記得我第一部分少了哪一題嗎XD
推 luke2:我完全忘了XDDD  那邊開始我用飆的...
推 luke2:啊  好像是某個四面體   邊長是5 5 5 5 6 x  求體積max
→ luke2:第二部分第七題   我到最後用列舉的   似乎是無解
啊對對對對對，就是那個四面體，你這麼一說我就想起來了XDD，謝啦
第二部分最後一題我不會算= =，倒是第一部分第7題我眼看快沒時間就用窮舉法XDD
現在就等人補充第一部分第4題的係數了...我只記得那兩個平面法向量外積好像是
(-1,1,-3)，不知道有沒有記錯，我目前正在努力還原數據中= =
推 luke2:p^2=3(63^2 - q^2)  很明顯q要是三的倍數  算出來無解
我那時候不知道是鬼打牆還是怎樣，居然分解不開那個數字
推 luke2:外積的結果我記得是1,-1,1   然後他有過5,0,7這個點
→ luke2:可能會記錯= =   我也還原不出來耶...
推 luke2:似乎是這樣   x+2y+z=12  2x+3y+z=17
完蛋了，那我不就從外積開始算錯了嗎......這樣不知道扣幾分= =
推 luke2:至少你筆試二有寫出四題   我只寫兩題半= =
→ luke2:最後一題只算一半  我有在答案卷上寫無解 可是沒有嚴謹證明
其實我算是三題半，骰子機率那題我沒有解釋很清楚，一樣是因為快沒時間了，原本還
算錯，後來直接就把答案列出來了，不知道教授會不會給分
當然前提是要算對，我算5/11
推 luke2:直接跳過XDDD  根本來不及  矩陣那題一直失誤
矩陣那題我原本要用大一線代的方法對角化，後來一直失敗就乖乖用一般的方法
對了，那第一部分第4題我就先借用你的數據囉XD
YA這樣數據就全部補完了，感謝你的協助啦
推 luke2:應該要把這一份重打出來  造福學弟妹XDD
→ luke2:清大死都不放題目 = =  不像交大還要煩惱寫不完
對啊，我google清大數學筆試題目都找不到，台交成都有了，就清大死不肯放
現在正努力的把這些重打到我的網誌上...
推 lf21201:推辛苦數學系...去年筆試爛掉連備取都備不到...今年跟數學
→ lf21201:系室友一起住  看他們微積分被當到崩潰XD  數學系難讀呀..
→ lf21201:祝你考上囉!!  推清大~
→ rukia175:清大數學可是"當很大 當不用錢"的 好好加油吧(茶)
→ jungKK:學那麼多 = = 第二部分第一題怎麼沒想到用數學歸納法= =
→ jungKK:機率5/11沒錯 其實只是簡單的無窮等比
→ jungKK:第五題用配方法  微分更快xd
→ jungKK:第七題 11907=3^5+7^2 顯然 p也是三的倍數  令p=3P1
→ jungKK:之後可得 3P1^2+Q^2 = 3^4*7^2 令Q=3Q1 .. 以此方法迭代
→ jungKK:最後變成 3(K3)^2+(Q2)^2=49 唯一正整解 (4,1)
→ jungKK:(p,q) = (108,9)
→ jungKK:第四題 先求出兩平面交線 我的參數式是 5-t,t,7-t
→ jungKK:然後帶進球面方程式 因為只有唯一解 代表相切 t會有重根
→ jungKK:判別式=0 => k=26
→ jungKK:看錯了 那是第一部分的xd
推 jungKK:第二題用平方關係湊一湊 答案 a 屬於 [1/2,-1/2]
→ jungKK:3(1)簡單 (2)看不懂?? 4沒想到
→ jungKK:你們可能考試太緊張沒想出來= = 感覺都不難 只是有考試壓力
→ jungKK:不然應該都想得到
→ jungKK:突然想到好像上面原po有題沒解出來 回來看一下
→ jungKK:那題其實只要知道A26 =1 然後下面用 a27 = a26 + d
→ jungKK:a25 = a26-d ... 全弄開再用加法的平方公式 很好做
你可以回文了...
第五題我題目放錯，今天才發現，應該是8y=x^4
→ jungKK:什麼 "你可以回文了..." ?? @@" 不懂
你不覺得你的推文多到用回文比較方便嗎XD
話說第二部分第一題有個不用數學歸納法的做法
就是利用2√n>√n+√(n-1)推得1/√n<2(√n-√(n-1))，然後再累加就可以了
※ 編輯: secjmy          來自: 114.32.118.196       (04/13 00:56)
→ jungKK:用數學歸納法才能嚴謹的保證在自然數系絕對正確
推 yusd24:不太懂樓上的意思