推 Yesman0627:頭推 01/15 11:59
推 goshfju:其實我覺得高中不適合教那麼多統計 大學生都被當一票了.. 01/15 12:05
推 MathWang:專業推 01/15 14:07
→ supdoraking:專業 不過對於高中來說這只是單純的機率題... 01/15 19:36
推 hao1992:專業推...才剛被統計碾了一遍看到這篇XDD 01/15 22:24
→ hao1992:不過確實這題只是單純的機率~~~ 01/15 22:24
※ 引述《intron0528 (表面的堅強 也算堅強吧..)》之銘言：
: 1.使用一儀器去測量一個高為70單位長的建築物50次 所得數據為：
: 測量值（單位長） 68 69 70 71 72
: 次數 5 15 10 15 5
: 根據此數據推測 假使再用此儀器測量該建築物三次
: 則三次測得的平均值為71單位長的機率為：
: 謝謝～
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這篇想跟原po分享一下遇到這類題目應該要有的正確想法
機率 跟 統計 有著很 fundamental 的差異
在統計上，您想拿 sample data 來估測母體群的一些特性
無疑是先 "無中生有" 出整個母體群
在由您所無中生有出來的整個母體群做分析
所以在統計學上，很多東西都是用"猜"的
別人不能說您所無中生有出來的東西是錯的、也不能說是對的
因為根本不知道背後的真相為何
這就好比像是你看到一張女生背影的照片
你只根據照片中的女生 高高瘦瘦、一抹黑色長髮、又穿迷你短裙
你就會自己腦內補完她一定是大正妹
但背後的真相卻是________________
可是 model 不能亂猜，要猜得"合理"
以下會舉兩個不同的 model :
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<1>
假設 X = 70 是我們想測量的一個東西
而 Y = X + e 則是我們觀察 X 所得到的一個離散型隨機變數量 , e 為誤差
對高中而言, 通常是直接假設 Y = X + e 這個 model
而 e 的 pmf 長的如下圖所示:
0.3 0.3
↑ 0.2 ↑
0.1 │ ↑ │ 0.1
↑ │ │ │ ↑
───┼─┼─┼─┼─┼────
-2 -1 0 1 2
因此要計算 P((Y1+Y2+Y3)/3)
1
其實就是把 f(x) = ──(1 + 3x + 2x^2 + 3x^3 + x^4)^3
1000
展開，看 (x^10) 係數為何即是答案
(假設每一次的量測皆為獨立不相干)
-------------------------------------------------------------------------------
<2>
可是這裡有幾個問題:
(1) 若今天問的是平均為 67 的機率為何
你要回答是 0 嗎 ?
(2) 量測出來一定是整數嗎 ?
若是精確度問題所造成，model <1> 合適嗎?
若我想問下一次量測為 71.3 的機率為何, 怎麼算?
若您想兼顧以上兩點，那一個簡單又實用的 model 就是 mixture Gaussian:
-1.89*(y - 68.81)^2 -0.93*(y - 70.82)^2
p(Y=y) = 0.32*e + 0.32*e
上面的係數怎麼來並非是本篇的重點 (那只是近似值)
重點是我把誤差用 連續型 的隨機變數量 model 出來
例如我想知道下一次的抽樣，其值為 71 的機率為何
代表著 70.5 ~ 71.5 中間的任何一個估測值，都有可能被四捨五入至 71
因此去計算:
71.5
P([Y] = 71) = ∫ p(Y=y) dy ≒ 0.2895
70.5
而且這個 model 也可以跟你說下一次測量到的估測值為 67 的機率是:
67.5
P([Y] = 67) = ∫ p(Y=y) dy ≒ 0.0022
66.5
至於原問題想問的三次量測平均值
Y1 + Y2 + Y3
可以假設新的隨機變數為 Z = ────── , 其中 Y1、Y2、Y3 ～ Y 且 iid
3
4 (-1)*b[i]*(z - c[i])^2
所以 p(Z = z) = Σ a[i] * e
i=1
其中 a = { 0.09, 0.34, 0.44, 0.2}
b = { 5.68, 4.22, 3.37, 2.8}
c = { 68.81, 69.48, 70.15, 70.82}
相同的，係數怎麼來不是重點
[Y1]+[Y2]+[Y3] 71 + 1/6
題目想問是 P( ─────── = 71) ≒ ∫ p(Z=z) dz
3 71 - 1/6
≒ 0.074 (精確點是 0.0729)
(可以想想為何要加減 1/6)
http://ppt.cc/ZIRX
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因此結論是
高中數學的統計相關題目, 有些參考解答看看就好
不要把它當成是對的而背那些解法
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