推 iMath:感動有人能理解文意(可見標題下得太差了) 01/15 17:18
→ iMath:不過即使是國高中數學，定理證明相較於其他題目還是相對地難 01/15 17:20
※ 引述《iMath ()》之銘言：
: 學習的方法多如牛毛，有些是將常見的概念作延伸變化，有的則是一反常人見
: 解的特殊思考。但無論如何，只要能接觸到最適合自己的學習方法，開啟另一
: 種思考模式，即使是他人極力反對的觀念也無所謂。
: 在日本首創「經濟學類書籍」百萬銷量，在「數學類書籍」銷售累積也超過兩
: 百萬本的名人，細野真宏，他便曾提出一個幾乎是與所有教科書對抗的看法：
: 數學公式，先背起來再說。
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假設這是原作者所提出的結論，那我還蠻不贊同的
因為即使要先背，也是背那些對自己本身而言有幫助的東西
就好比像以這個年代來說
學會騎機車或開車就好
學開飛機你是想做啥＝＝
: 細野真宏認為，許多學生對於數學公式的證明並沒有興趣，他們只想知道公式
: 的應用方法，並能夠靠自己來解開題目。但是，教科書向來是站在「不了解公
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: 式由來會無法使用」的立場，所以即使學生對證明過程沒興趣，他們也必須先
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其實很多教科書並沒有 based on 這立場
只是做得不是很完善就是了
: 被迫接受繁瑣的證明過程，甚至最後對數學產生反感。
: 就如同電視和電腦，很少人會對它們的構造產生興趣，而數學公式也應該是在
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: 充分熟悉其應用方法後，再讓有興趣的學生去接觸與思考，因為只有自發性的
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<1>
: 思考才能讓人對學問產生興趣。
: 另外，有些人為了不想背太多公式，就會偏好運用理解的方式，將一個公式變
: 成兩三個計算式子或思考邏輯，也就是沒有形成「直覺性的反射」，而這其實
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<2>
: 又會造成「思考持久力」的問題。
: 有邏輯的持續思考是很消耗腦力的，就像我們大部份人都是被直接要求背下「
: 99乘法」，在運用上也沒有問題，那麼，假設在解一道題目必須經過「A=>B」
: 、「B=>C」、「C=>D」的過程，如果缺少反射性的思考，而是「7乘以7，嗯，
: 就是把7個7加起來，然後8乘以8，就是有8個8……」，這樣可能在「A=>B」時
: 就用去了太多腦力，還沒達到最重要的「A=>D」目的就先精疲力竭了。
: 細野真宏並不是反對人去理解公式的來源，而是認為這應該放在最後的順序；
: 而且在理解之後，就應該當成反射性的工具應用，以便解開更多困難和繁瑣的
: 證明。據說，日本也曾經將「梯形公式」從小學生的課本上刪除，理由是「推
: 導過程容易」，但他們現在似乎又考慮將它拿回來了。
: http://waknow.com/?p=3889
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內文大致可切出兩個重點 (<1> & <2>)
<1> 先背再說
簡單說就是，你學習的目的何在
根據你的學習目的，才決定哪些 Knowledge 才是你該著墨的點
而非重心的 Knowledge 就先姑且記著它
等你心有餘力並且有興趣時在下去鑽研
這時我就很喜歡舉以下兩個例子:
(1) 微積分基本定理
我相信大家在學這個 thm. 時，老師第一時間都不會去證明
甚至根本不會證明它
反正我們只要知道 導數 跟 反導數 很像是反函數的關係就好
因為看到一個應用問題
如何用微積分 model、如何用微積分技巧算出來才是初微想強調的重心
你會用 MVT 之類的定理證明 FTC
會影響到積分技巧的 whole picture 嗎?
2 3
所以假設要你算 ∫ sin (x) dx for example
0
即使你不會 FTC 的證明也無仿
只要你心有餘力、有興趣的時候在自己鑽研這部分即可
(2) 三角形內角和 = 180度 for 歐式幾何
─
or 圓切線和 OP 垂直 , 其中O為圓心、P為圓和切線的交點 ... 等等
我相信若高中段考考這些證明
一定可以把一大票學生打掛
因為你沒背一些 postulate 或 property 根本無從下手
可是這是高中數學所該著墨的點嗎 ?
你不會這些證明，會影響到 處理複雜的幾何題目嗎?
以上兩個例子，都是我們沒有先去 care 公式或定理的起源或是證明
而是就直接應用在複雜的 case 上了
這也就是內文所說 充分熟悉其應用方法後，再讓有興趣的學生去接觸與思考
簡而言之就是 先背再說 這句話的背後意思
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<2> 直覺性的反射
關於這點，主因是知識只會越來越龐大
遇到的問題也會越來越複雜
因此遇到一個龐大的問題，得做一下切割
就好比內文所舉的例子，把一個大問題切割成 A → B → C → D 四小塊
m n p
若你發現 m、n 是別人已經解決過的問題
那請先直接使用他的結論
您只需思考 C→D 即可
如此一來你的思考鍊或思考網才會夠龐大
不然每次為了偷懶，還得去重新推論一次 m 跟 n
效率上一定輸別人一大截
當然這並不代表你得須把 m 跟 n 相關的公式或定理全背下來
因為現在的科技很發達
上網隨便 google 一下就可以找到您所想到結論
或是也有很強力的 tool 可以幫你一手包辦
所以你甚至只需有一個很簡單的 concept 即可
連背也不需要 (這段是我個人的意見)
只需記得你的目的是 A→D 即可
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所以結論是
會不會公式的證明並非是重點
重點是你要看你的學習目的為何
我是覺得對高中生而言，可能還不太能體會原文所要闡述的意思
畢竟高中數學主要還是 based on 在 calculate 上
也就是對國高中學生而言，學習目的就是考試
因此公式或定理的證明當然顯得很重要，只因為它有可能會考 XD
但是有些很複雜的證明還是可以先略去不看
( 例如二次曲線的三階判別式證明, 不過這部分教材已經被拿掉了)
可以先姑且背著以備不時之需
等心有餘力再回頭過來檢視證明
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