是老梗加一點變形
假設 A點是P(x,y)對稱於 直線L 的對稱點，則PA長為√3x-y
假設 B點是P(x,y)對稱於 x軸 的對稱點，則PA長=2y
則AB長的最小值即題目所求最小周長，
並且最小值發生時AB與兩直線的交點即Q,R兩點
重點是：∠APB = π/3
故 (AB)^2 = (PA)^2 + (PB)^2 -2(PA)(PB)(cosπ/3)
= 3x^2 -(2√3)xy + y^2 + 4y^2 -2(√3x-y)(2y)(-1/2)
= 3x^2 -(2√3)xy + y^2 + 4y^2 +(2√3)xy -2y^2
= 3(x^2 +y^2)
將所求轉換為圓C上任一點到原點的最短距離問題
∴ (AB) = √3 (x^2 +y^2)^(1/2) ≧ √3 * 20 = 20√3
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這是臺北區100學年度第二學期指定科目第一次模考
去年學生問我時也覺得是老梗...
畫完圖後發現最短直線的兩端點對稱回圓C似乎不是同一點
於是只好從圓C出發對稱到兩邊去，
但這樣的直線一點也不「正」，
盯著圖苦思才發現那「角度」正是巧妙所在!!
剛好可以用上餘弦定理...
說真的，這題不好想，但有想到從對稱的老梗切入的話
遲早會發現解題之道吧!?
※ 引述《chuntien (chuntien)》之銘言：
: ※ 引述《licha (我要玩踩地雷)》之銘言：
: : 已知一圓C 其圓心(20,15) 半徑=5 及一直線L:y=(√3)x
: : P點在圓C上 Q點在直線L上 R點在x軸上
: : 求三角形PQR周長之最小值？
: 這題目蠻老梗的
: 畫圖就知道他在幹什麼
: 圓心代入直線發現圓心在直線的右邊
: 再把直線代進圓(題目給這麼多條件不至於寫不出圓方程式吧...故不解釋)
: 就會發現直線不會穿過圓
: 請瞪著圖10秒鐘
: 告訴我他在想什麼
: (翻下頁)
: 沒錯
: 就是對稱
: 對稱怎麼做呢~~相信你應該會
: (以下只是計算過程)----------------------------------
: 先假設線上一點A(t,根號3t)
: 可產生與圓心連線的方向向量
: 這個方向向量AO與直線L的方向向量內積=0(因為L是對稱軸)
: 很容易求得t
: 接下來就用[(對稱後的圓心)+(原本的圓心)]/2 這簡單的中點公式
: 對稱後的圓心輕鬆搞定
: ---------------------------------------------------
: 你有了對稱圓
: 直接把對稱圓的圓心到x軸的距離連起來(這距離會等於圓心y座標)
: 然後減掉圓的半徑就是答案了
: 為什麼呢~~
: 因為對稱過去的圓心與L相連的點之距離 等於 原本的圓心與L上同一個點的距離
: (RHS或直角三角形的SAS或者ASA或者AAS全等)
: 剩下什麼兩邊之和大於第三邊的我懶得打了= = 但你應該知道才對
: 所以這樣做
: 然後你也太拚了吧這麼晚沒睡
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