[問題] Var(X1+X2)和Var(2X)差別

[yo841204 (yo841204)]

先附上證明
 http://miupix.cc/pm-VR2AOI

近日算到一題：
一粒公正骰子丟兩次，隨機變數X為兩次的點數和

有個選項是Var(X)=35/3

我當時過分天真
想說做兩次的期望值就是做一次的期望值的兩倍
所以變異數就是四倍

所以我先算出丟一次的變異數=35/12
然後再乘以4（2的平方）
算出35／3

可是這是錯的
我後來想到這樣算其實不是丟兩次的變異數
而是把隨機變數放大兩倍

所以後來乖乖用定義去算
答案是35／6沒錯


可是老師有說兩次不同試驗的Var
在獨立情況下可相加
也就是上圖的證明
Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2)

我就想說
35/6 = 35/12 * 2
今天設Y是丟一次骰子出現的點數的隨機變數
Var(Y) = 35/12
那這樣不就是
Var(X) = Var(Y) * 2 = Var(Y) + Var(Y)
在把這個式子以上圖的第一個證明逆推回去
就變成Var(Y+Y)=Var(2Y)
Var(2Y)=4Var(Y)=4 * 35/12 = 35/3

這樣不就和35/6不同答案了！

我有想到(Y+Y)這是進行相同試驗兩次
都是本身所以相關係數應該是1 完全相關

但是丟骰子不是不會互相影響嗎
哪來的相關呢？
應該是獨立吧

這題有點困擾
請數學神人相救謝謝！


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.168.124.158
※ 編輯: yo841204        來自: 1.168.124.158        (09/05 23:53)
推 thunderry:安安小弟魯蛇王發表淺見 上面的證明重點是在"獨立"才成
→ thunderry:立 而下面證明中Y的意義是"同一個"隨機變數  也就是Y和Y
→ thunderry:並不獨立 而兩顆骰子是獨立的也就是X1和X2應該代上面證
→ thunderry:明出來的式子 所以你下面的逆推證明應該寫成Var(Y1+Y2)
→ thunderry:當然就不能等於Var(2Y)囉 ^.<
→ thunderry:上述如有謬誤麻煩指正 小弟只是區區魯蛇
→ yo841204:那麼晚還不睡XD 我問聖輝他不會欸一樓大神 你回之前有人
→ yo841204:跟我說了啦
→ y800122155:居然不是用共變數來證 結果變這麼一大串= =
→ y800122155:為什麼現在高中要教統計卻教得學生都一知半解 爛死了
推 vinousred:VAR(X1+X2)是大學統計學範圍  你解題別想太多.....
推 thunderry:回樓上 寫題目會用到啊=_=
推 vinousred:高中還是別用大學方法解 我也很痛恨高中統計學只教一半
→ vinousred:要嗎統計全不教  要嗎統計講清楚點 現在這種教法讓人火
→ lovehan:我才不信這鬼東西學測/指考會考....根本沒考那麼深
推 jeanlin0131:聖輝...
→ thunderry:發現野生的Jeanlin~
推 goshfju:想想看把你放大兩倍 跟 兩個你 的差別