[閒聊] 數學考古題怎麼用

[Fanlic (slideaway)]

首先，每年都會有人問考古題都已經看過了、也看老師示範過了，到底該不該做？


若是程度好的同學會強烈建議把考古題整理成最單純的解題方法配合模考題大量演練
，15級分其實十拿九穩，不要粗心怯場就好；然而程度中間或是一直上不去的或許可以考
慮類似於以下的方法，把大考試題與課本基本觀念做個鏈結，進而重新去思考出這題的用
意和釐清重要考點。




舉107學測單選7為例
https://i.imgur.com/iTkdXcR.jpg


這題其實是這個課本例題的小延伸！（節自翰林課本3-2課後習題）
https://i.imgur.com/eSAlixU.jpg

由課本的這題我們可以歸納：已知三向量的實係數組合式及三向量分別的長度，即可透過
移項絕對值平方展開求得三者中任兩者的內積／夾角。同時這也是除了內積定義、向量座
標化這兩個最常見也最直觀的求內積方式外，第三種容易被遺忘但大家都看過考試也考出
來了的求內積作法。


再回到學測的那題，他其實只是做了個包裝：
（1）OA、OB、OC三個向量都在同一側，但係數都還是實數
（2）單位圓其實就是在給三向量的長度


因此課本每一題都熟練的人，即知道目標是去找OA、OB、OC三者中任兩者哪一個夾角跟所
求有關。（
不過這裡考了國三幾何愛考的圓周角圓內角就比較隱蔽一些，加深了一點難度。）
https://i.imgur.com/Uj7YhC8.jpg




做到這邊，不妨可以思考教授或是題庫老師當初命題時這個圖怎麼來的？

首先把不合群的向量OC移項此時OA向量與OB向量的和為一個跟OC向量反向並且長度=根號3
的向量。這時候跟力學的感覺有點連結了。（拉密定理那段）



不過這邊要先做一個討論，以確認OA、OB是夾銳角、鈍角、還是直角？
https://i.imgur.com/xjfrPhl.jpg

因為OA向量+OB向量的長度是根號3的緣故，因此兩者夾銳角。
A,B,C三點的相對位置便能較準確地畫在圖上，同時可能的答案只剩60度或75度。

https://i.imgur.com/f7ZkL2g.jpg



接下來只要分析兩個塗色相鄰的等腰三角形即可得解！
https://i.imgur.com/ffuaFNy.jpg




以上扯這麼多廢話，只是獻醜丟個想法提醒考生們或學弟妹們可以善用、活用考古題。畢
竟那就是大考中心的官方參考書哪！
搭配課本或是基本觀念範例詳盡的參考書或補習班講義，會讓在茫茫題海中遇到瓶頸的同
學對數學解題又有新的體會。水管也有很多不同老師的解題作法，都可以看看比較，但最
後一定要統整成自己的。

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1544813905.A.9E3.html
※ 編輯: Fanlic (1.173.189.47), 12/15/2018 03:03:29
※ 編輯: Fanlic (101.10.80.228), 12/15/2018 03:07:23
推 Drake5566   : 推
推 lytt        : 推
推 eeEthan     : 幫推
推 applejuicy  : 通常這種3向量都是 左右擺適當 平方 分點公式 內積
→ applejuicy  : 幾何作圖
推 eric911116  : 推
推 latiner123  : 感謝，我數學有個努力方向了
推 alicacia    : 推～
不用客氣，考生們加油！
另外，最快的做法是：
這題其實是對CD直線對稱，所以角BOC=角AOC，又角BOA=60度，所以角BOC=(360度-60度）
/2=150度，故所求=75度。
※ 編輯: Fanlic (101.9.20.175), 12/15/2018 13:05:53
※ 編輯: Fanlic (101.9.20.175), 12/15/2018 13:07:23
推 guy4409     : 推
推 weionce0707 : 推
推 jasonwannabe: 推
推 jeffreychen : 推個
推 PoPonn      : 我現在做法跟你說的差不多耶～不過離穩15還有一段距
→ PoPonn      : 離QQ
我認為這幾年的北模題都出的不錯，可以拿來練習。但都要用課本整理出來的內容來面對
新的、沒看過的題目。也蠻建議把一到四冊課本範例與習題再拿出來做！數學滿級分的一
個關鍵點是預判題目要幹嘛，絕大多數的題目必須在看完就有想法。
※ 編輯: Fanlic (101.14.182.238), 12/15/2018 16:21:15


還有這題其實活用課本愛用的單位圓配合廣義三角函數使得A座標化(1,0),B(cos60度,sin
60度）,D(根號3cos30度,根號3sin30度)去找C也是一個雖然不是最快，但也是活用課本內
容的方法。畢竟幾何感比較不強的同學，回到座標用內積求夾角反而省事。
※ 編輯: Fanlic (101.14.182.238), 12/15/2018 16:28:09
→ wayn2008    : 樓上可以先思考看看自己常錯的狀況是什麼 分析
推 latiner123  : 106北模難到哭
推 latiner123  : 我幾何感超差，平面向量題目每次都直接掛掉
→ latiner123  : 超恨這個單元
推 lpk8610fe   : 請問最後一個月是否該啃完歷屆並且有空就拿出來算就
→ lpk8610fe   : 好 不該再碰其他高難度的習題呢
推 applejuicy  : 我倒覺得要適當度寫一下難的題目 你看到學測難題才
→ applejuicy  : 比較不會亂了步伐 但不是要你去狂寫模考
→ wayn2008    : 越到考前 寫模考題頻率降低
→ wayn2008    : 考前1~2個禮拜就要慢慢整理這段時間學過的內容
推樓上兩位大大，我認為可以並行但都必須統整成自己的武器庫，然後1/10-12起就不要
再做新的題目。把錯的、常忘的，熟練再熟練即可（學測時間蠻夠的的，熟練度很重要。
）
※ 編輯: Fanlic (101.14.182.238), 12/15/2018 18:51:23
推 ae108       : 想問一下，數學程度真的很差的該怎麼利用考古題呢？
→ ae108       : Q_Q
→ wayn2008    : 建議先會寫 再慢慢深入 可以多利用水管影片
→ wayn2008    : 看看其他老師的作法 會對於學測題目有不同的想法
→ edison0614  : 這題直接猜1:根號3:2就好了啊
推 fred1541    : 要怎麼樣才能前標@@”最近寫模考很挫敗
→ wayn2008    : 模考分數是假象，重點在如何破題
推 maple0419   : 推  非常值得參考
推 maygee      : 如果看了課本還是連結不起來的呢QQ
推 unmolk      : 實用推推
推 emblakenta  : 106北模我60分而已幹
推 LCW9041     : 想請問一下這樣整理大概花多久時間
課本熟的話跟該年考題檢討一併處理大概1-2小時不等。
※ 編輯: Fanlic (111.255.16.156), 12/22/2018 12:37:10
→ golden31    : 這篇很好分享
→ golden31    : 還好我重考遇到很棒的數學老師讓我開竅
→ golden31    : 也是強調要熟練，他那套教材超強