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作者: llrabel (都沒有在學習) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Mon Oct 28 02:06:49 2002
※ 引述《llrabel (都沒有在學習)》之銘言：
: ※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: : 幫忙一下吧!
: : 請問一下...
: : 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: : 謝謝各位高手. :D
: : 是用歸納法嗎?
: : 還是...... -_-|||
: 一般是用數學歸納法
: 不過也不是很好用
: 舊版高中數學統合有證明
: 用了蠻大的篇幅
: 還有這裡有
: http://210.60.107.2/jflai/main.htm
: 到各類試題→挑戰題
: 然後倒數第二個選項就是
再提供一個方法
有 n=2 很容易證 n=4，有 n=4 很容易證 n=8...依此下去可以證 n=2^m 的情形
然後後面的可以用來證前面的
例如想要證 n=5 的情形，利用已得證的 n=8
令 u=(a+b+c+d+e)/5 , 其中a,b,c,d,e為任意非負實數
則 (a+b+c+d+e+u+u+u)/8 ≧ (abcdeuuu)^(1/8)
整理完就可得到 u≧(abcde)^(1/5)
想證 n=14 的情形，利用 n=16
令 u=(a1+a2+...+a14)/14 , 其中 a1~a14 為任意非負實數
則 (a1+a2+...+a14+u+u)/16 ≧ (a1*a2*...*a14*u*u)^(1/16)
整理完就可得到 u≧(a1*a2*...*a14)^(1/14)
用這樣的想法
也可以寫出一個類似歸納法的證明：
先證明若 n=2^m 對的話則 n=2^(m+1) 也對
所以 n=2^k 的情形都對
接下來
證明若 n=2^m 對的話則 n=p 也對，只要 p<2^m
而因為對任意正整數p，必存在某個正整數m使得 p<2^m (因為數列{2^n}無上界)
於是定理證畢
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렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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